Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 7 môn: Toán năm học 2015 – 2016

Trường THCS NTM KHAI
-----------o0o---------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
MÔN: TOÁN
Năm học 2015 – 2016
Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
----------------o0o--------------
Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị của biểu thức
A = ; 
 B = 
Bài 2: (4 điểm) 
Tìm x biết: 
Tìm x, y nguyên biết: 
 Bài 3: (4 điểm) 
Cho đa thức: f(x) = ax2 + bx + c 
Biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh f(-2). f(3) ≤ 0
Cho các số thực x, y, z 0 thỏa mãn: 
Tính giá trị cuả biểu thức: M = . 
Bài 4: (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC
Chứng minh tam giác ABM cân.
Chứng minh MN = AB + AC – BC
Tính góc MAN.
Gọi G, K lần lượt là giao điểm của BD và AN; CE và AM. Tia AI cắt GK ở H. Tính góc AHG.
 -----------------------------------Hết---------------------------------
 Họ và tên thí sinh:Số báo danh: 
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi môn toán 7
Năm học 2015-2016
----------o0o----------
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm
1
a)
2đ
A = 
2
b)
2đ
Đặt M = 1+3+32++32015
Ta có 3M=3+32+33++32016
3M - M=32016 – 1 => M = 
Khi đó B =- = -	
1,5
0,5
2
a) 
2đ
 hoặc 
Vậy ; 
 0,5
0,5
0,5
0,5
b
2đ
Ta có 4 ( x – 2016)2 0 với mọi x nên 25 - y20 => y225
Mà 4 ( x – 2016)2 là số chính phương chẵn => 25 - y2 chẵn
=>y lẻ. 
y2 là số chính phương lẻ, y225 => y2 {1;9;25}
+ Nếu y2=25 => 4 ( x – 2016)2=0 => x=2016
+ Nếu y2=9 => 4 ( x – 2016)2=16 => x=2016 
=> ( x – 2016)2= 4
 x-2016 =2 hoặc x-2016 = -2
 x = 2018 hoặc x = 2014 
+ Nếu y2 =1 => 4 ( x – 2016)2= 24 không phải là số chính phương (loại )
Vậy với y = 3 thì x = 2018; x = 2014
 Với y = 5 thì x = 2016.
0,5
1,0
0,5
3
a)
2đ
Ta có f(3)= 9a+3b+c ; f(-2)= 4a-2b+c
f(3)+ f(-2) =13a+b+2c = 0 => f(3)= -f(-2) 
f(3).f(-2) = -f(3)2 0
0,5
0,5
1,0
b)
2đ
Vì x, y, z 0 nên theo bài ra ta có: 
 => x = y = z.
Thay x = y = z vào M ta được M = 1.
1,5
0,5
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm
 4
a) 2đ
 =(cạnh huyền – góc nhọn) => AB = AM => cân ở B.
2,0
b) 2đ
Ta có = => CN = CA
Khi đó AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN
MN = AB + AC - BC
0,5
1,0
0,5
c) 2đ
Từ cân ở M => 
Từ cân ở N => 
Trong có 
 = 
 =
(Vì vuông tại A nên )
Vậy 
0,5
0,5
1,0
d) 2đ
Vì cân ở B nên đường phân giác BD đồng thời là đường cao => hay 
 cân ở C => đường phân giác CE đồng thời là đường cao => hay 
Trong có 2 đường cao xuất phát từ G, K cắt nhau ở I => I là trực tâm của .
 ở H => 
0,5
0,5
0,5
0,5