Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 6; 7; 8 cấp huyện Sông Lô - Năm học 2015 - 2016 môn: Toán 6

PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; 8
 CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phút 
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên x , biết : (++ . . . +).x = 
b) Thực hiện phép tính: A = 2016.
Câu 2, (2,5 điểm) 
a)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12
b)Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
c) Tìm tất cả các số M =, biết rằng số M chia hết cho 99.
Câu 3. (2,0 điểm) 
a) Chứng minh rằng phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n: .
b) Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đó chia hết cho 2015.
Câu 4. (2,0 điểm) 
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia BA lấy O (O khác B). So sánh độ dài đoạn thẳng OM và trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA và OB.
b) Cho 10 đường thẳng đồng quy tại O. Hỏi có bao nhiêu góc ở đỉnh O được tạo thành (không kể góc bẹt) ?
Câu 5. (1,5 điểm) 
a) Cho tổng : . Chứng minh rằng : 
b) Tìm 2 số tự nhiên A và B biết rằng A có n ước số tự nhiên là a1, a2, ..., an và B có m ước số tự nhiên là b1, b2, ..., bm thỏa mãn : 
 a12.a22...an2 = 729 và b12.b22...bm2 =1296.
--------------------------------Hết--------------------------------
Chú ý : - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
 - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
 PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ
KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI 
 NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 6 
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2 điểm)
a
1đ
Theo đề bài ( + + . . . + ).x = 
().x =
.x = 
 x = 
Vậy không có giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,5
0,5
b
1đ
Ta có: .
	 =
 0,5
0,25
0,25
Câu 2
( 2,5 điểm )
a
0,75đ
Ta có 2x+1; y-5 là ước của 12
12= 1.12=2.6=3.4 
do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 
2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 
hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 
Vậy (x,y) = (0,17); (1,9) 
0,25
0,25
0,25
b
0,75đ
Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 
Để 4n-5 chia hết cho 2n - 1 => 3 chia hết cho 2n - 1 
*) 2n - 1=1 => n =1
*) 2n – 1 = 3 => n = 2 
*) 2n-1=-1=> n=0
*) 2n-1=-3 (loại) 
vậy n = 0; 1 ; 2 
0,25
0,25
0,25
c
1đ
Ta có 99=11.9
M chia hết cho 99 => M chia hết cho 11và M chia hết cho 99 +) M chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 
(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15
+) M chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11
x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 
y-x=2 và x + y = 6 => y = 4; x = 2 
y-x = 2 và x + y = 15 (loại) vậy B = 6224427 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
(2 điểm)
a
1đ
 Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2
Vậy phân số tối giản với mọi số tự nhiên n
0,5
0,5
b
1đ
Xét 2016 số : 2;22;222;;2222 số cuối cùng có 2016 chữ số 2.
Các số này khi chia cho 2015 ta được 2016 số dư. Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2015 chỉ có thể có số dư là :0;1;2;;2014 có 2015 khả năng dư. 
Do đó theo nguyên tắc Đrichlê tồn tại hai số trong các số trên có cùng số dư khi chia cho 2015. Hiệu của chúng có dạng 22220000 chia hết cho 2015.
0.25
0.25
0.5
Câu 4
(2 điểm )
a
1đ
M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên M nằm giữa A và B ; MA=MB (1)
Hai tia BM, BA trùng nhau; hai tia BO, BA đối nhau do đó B nằm giữa O và M suy ra OM=OB+BM (2).
Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB, MO trùng nhau suy ta hai tia MA, MO đối nhau do đó M nằm giữa A và O. Vậy OM+MA=OAOM=OA-MA (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra 2OM=OA+OB hay OM= 
0,25
0,25
0,25
0,25
b
1đ
10 đường thẳng đồng quy tại O có 20 tia gốc O. Chọn ra một tia, tia đó tạo với mỗi tia trong 19 tia còn lại thành 1 góc. 
Làm như thế với 20 tia ta có 20.19 =380 góc, trong đó mỗi góc đã được tính hai lần.
Do đó số góc tạo thành là: 380:2 =190 góc.
Số góc tạo thành khác góc bẹt là: 190-10 = 180 góc.
0,5
0,5
Câu 5
( 1,5 điểm )
Ta có : 
	hay từc là: Vậy (1)
Mặt khác: 
	 tức là : Vậy (2).
	 Từ (1) và (2) suy ra :đpcm.	
0,25
0,25
0,25
Từ a12a22...an2 = 729 suy ra a1a2...an =27 . 
Giả sử a1< a2 <...< an Khi đó an =A và an a1, an a2, ..., an an-1
Mặt khác a1a2...an =27 =1.3.9 nên an=9 Từ đó A=9
Lại có b12b22...bm2 =1296, suy ra b1b2...bm=36. Giả sử b1< b2 <...< bm Khi đó bm =B và bm b1, bm b2, ..., bm bm-1 Vì b1b2...bm=36=1.2.3.6 nên bm=6 hay B=6.
Vậy A=9; B=6
0,5
 0,25
Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.