Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học 2013 - 2014 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc )
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình 
Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm thuộc đoạn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Câu II (1,5 điểm). Cho dãy số xá định như sau:
Đặt . Tính
Câu III (1,5 điểm). Cho hai số nguyên tố thoả mãn. Tìm tất cả các số nguyên k sao cho phương trình có nghiệm nguyên thoả mãn .
Câu IV (2,5 điểm). Cho hai đường tròn không bằng nhau và tiếp xúc ngoài tại T. Kẻ tiếp xúc với tại A; tiếp xúc tại B sao cho các điểm A, B cùng nằm về một phía với đường thẳng bờ . Lấy điểm H thuộc và điểm K thuộc sao cho BH và AK cùng vuông góc với . TH cắt lần nữa tại E, TK cắt lần nữa tại F. Gọi S là giao của AB và EF. Chứng minh ba đường thẳng , và TS đồng quy.
Câu V (1,5 điểm). Cho hàm số xác định trên thoả mãn , với . Tính . 	
-------------Hết-------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN 11
(Dành cho học sinh trường chuyên Vĩnh Phúc)
Câu
Nội dung
Điểm
I
3,0 điểm
I.1 (2,0 điểm)
ĐK: 
Bình phương hai vế phương trình (2) ta được: 
0,5
Ta có: 
Kết hợp với (3) và (4) ta có phương trình: 
0,5
0,5
Với thay vào (3) ta được 
Với thay vào (3) ta được 
Thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ có hai nghiệm 
0,5
I.2 (1,0 điểm)
Gọi là hai nghiệm của phương trình. Theo định lí Viet ta có
Khi đó ta có 
0,25
Do 
0,25
Vậy
0,25
Đăng thức xảy ra khi hoặc 
 hoặc 
0,25
II
1,5
điểm
Ta có 
0,25
Dễ thấy với và nên 
Nên dễ dàng quy nạp ta được 
0,25
0,25
Do 
0,25
Vậy 
0,25
Do 
0,25
III
1,5
điểm
Gọi là ƯCLN của . Dễ thấy nếu là một nghiệm thì 
Vậy không giảm tổng quát giả sử 
0,25
. Do
.
Không giảm tổng quát chỉ cần xét 
0,25
1) Với 
0,25
2) Với 
0,25
3) Với 
0,25
Kết luận: Để PT có nghiệm thoả mãn điều kiện đề bài thìhoặc k là ước của một trong các số 
0,25
IV
2,5
điểm
I
S
E
F
K
H
B
A
O
1
O
2
T
Gọi I là giao điểm của với 
0,5
Tứ giác nội tiếp nên đồng dạng 
Nên IT là phân giác góc 
0,5
Mặt khác (góc có canh tương ứng vuông góc) 
và ( tứ giác nội tiếp)
Nên đồng dạng hay 
 đồng dạng tứ giác nội tiếp
0,5
Tương tự đồng dạng 
và cùng với đồng dạng ta có và 
0,5
Mà hay IS là phân giác ngóc AIB
Hay I, T, S thẳng hàng, hay đồng quy
0,5
V
1,5
điểm
Ta có 
0,25
0,25
0,5
Từ 
0,5
----------------Hết---------------