Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2021 – 2022
Môn thi: Toán – Lớp 8 
Thời gian làm bài:120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10 tháng 02 năm 2022
Bài 1: (3 điểm) 
Phân tích các đa thức thành nhân tử: 
a) 
b) 
c) 
Bài 2: (3 điểm) 
Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A
Tìm giá trị của để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3: (3 điểm) 
	a) Giải phương trình: 
	b) Cho và Tính 
Bài 4: (3 điểm) 
	 a) Cho và 
Tính 
	b) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0
Bài 5: (4 điểm) 
	Cho tam giác vuông tại Gọi I là trung điểm của cạnh Qua vẽ vuông góc với tại M và vuông góc với AC tại N.
Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật
Gọi D là điểm đối xứng của qua N. Chứng minh tứ giác là hình thoi.
Đường thẳng cắt tại K. Chứng minh rằng 
Bài 6: (4 điểm) 
	Cho tam giác ABC nhọn, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H
Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng: 
Gọi M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường vuông góc vưới HM, cắt AB tại I, cắt AC tại K. Chứng minh tam giác IMK là tam giác cân
ĐÁP ÁN 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2021-2022 
Môn: Toán Lớp 8
Bài
Câu
Nội dung
Biểu điểm
1
a
 a, = (
0,5
 = 
=
0,5
b
0,5
0,5
c
1,0
2
a
0,5
b
Vậy 
1,0
0,5
3
a
Đặt . Ta có:
0,5
0,5
0,5
Từ 
Mà 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
4
a
Ta có: 
Do đó:
Vậy 
b
7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0
 y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = 0
 y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = 0
 (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = 0
 (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = 0
0,5
 (vì (y + 2x – 3)2 0 và 3(x – 2)2 0)
0,5
 . Vậy x = 2; y = -1
0,5
0,5
0,5
5
1
a
0,5
Xét tứ giác có:
(vì vuông ở A)
(Vì vuông góc với 
(Vì vuông góc với 
Vậy tứ giác là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)
0,5
b
vuông tại A, có là trung tuyến nên 
Do đó cân tại I, có đường cao đồng thời là trung tuyến
Mặt khác (tính chất đối xứng) nên là hình bình hành (1)
Mà 
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là hình thoi.
0,5
0,5
c
Kẻ qua I đường thẳng song song với cắt CD tại H
là đường trung bình 
là trung điểm của hay 	(3)
Xét có là trung điểm của DI, 
Do đó là trung điểm của hay 
Từ 
0,5
0,5
6
c) Kẻ . Gọi O là giao điểm của KF và HD là trực tâm tam giác CHO 
là đường trung bình của tam giác BCO
 (cạnh huyền – góc nhọn)
cân tại M (vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến)
Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa