Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2011 – 2012 môn thi: Toán – lớp 12 – thpt thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề)

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 20 tháng 3 năm 2012
================
Câu 1.(5,0 điểm)
Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt sao cho góc nhọn (O là gốc tọa độ).
Câu 2.(6,0 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu 3.(2,0 điểm) 
 	Cho ba số thực dương là độ dài ba cạnh của tam giác . Gọi là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: . Chứng minh rằng: .
Câu 4.(3,0 điểm)
 Cho tứ diện có và là một điểm thay đổi nằm trong tam giác . Các đường thẳng qua song song với lần lượt cắt các mặt tại . Chứng minh rằng: 
Câu 5.(3,0 điểm) 
 	Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng có phương trình Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6.(1,0 điểm) 
Từ 2012 số nguyên dương đầu tiên lấy ra 6 số xếp thành dãy số có dạng . Hỏi có bao nhiêu dãy số có dạng trên biết theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
------------------------Hết------------------------
(Đề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 20 tháng 3 năm 2012
==============
Câu
Lời giải sơ lược
Thang điểm
1
Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt sao cho góc nhọn (O là gốc tọa độ).
5.0
PT hoành độ giao điểm của d và (C) 
 (1) 
đặt 
1.0
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
1.0
Gọi với là nghiệm của (1). 
Theo đlý Vi-et: 
1.0
 nhọn 
1.0
Kết hợp điều kiện(*) ta được đk cần tìm của là 
1.0
2.1
Giải hệ phương trình: 
3.0
ĐK: 
Biến đổi được pt(1) về dạng 
1.0
Thế vào pt(2) ta được (3)
0.5
Biến đổi (3) về dạng: (4)
Giải đúng (4) được nghiệm 
1.0
. Vậy hệ có nghiệm .
0.5
2.2
Giải phương trình: 
3.0
TH1: 
1.0
0.5
TH2: (1)
0.5
Xét hàm số 
.
Suy ra, đồng biến trên từng khoảng 
0.5
Nên trên mỗi khoảng PT (1) có nhiều nhất một nghiệm
Mà . Suy ra, (1) có 2 nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: 
0.5
3
Cho ba số thực dương là độ dài ba cạnh của tam giác . Gọi là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: . Chứng minh rằng: .
2.0
Từ giả thiết ta có 
 (Định lí côsin)
0.5
CM tương tự ta được: 
Khi đó 
0.5
0.5
 . 
Dấu “=” xảy ra khi tam giác đều hay 
0.5
4
Cho tứ diện có và là một điểm thay đổi nằm trong tam giác . Các đường thẳng qua song song với lần lượt cắt các mặt tại . Chứng minh rằng: 
3.0
0.5
 đồng quy tại . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Khi đó, 
1.0
Từ đó chứng minh được 
0.5
Tương tự ta thu được:
0.5
Áp dụng BĐT Côsi 
 (đpcm)
0.5
5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng có phương trình Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất.
3.0
Gọi 
Tính được 
1.0
Biến đổi được 
0.5
Đặt 
1.0
Dấu ‘=’ xảy ra khi cùng hướng hay 
Từ đó tìm được 
0.5
6
Từ 2012 số nguyên dương đầu tiên lấy ra 6 số xếp thành dãy số có dạng . Hỏi có bao nhiêu dãy số có dạng trên biết theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
1.0
 lập thành csc cùng tính chẵn lẻ
0.25
Số csc chính là số cặp cùng tính chẵn lẻ. Khi đó các số hạng được chọn trong 2009 số nguyên dương còn lại. 
0.25
Số cách chọn csc là 
Số cách chọn bộ 3 số hạng là 
Vậy số các dãy số thỏa mãn yêu cầu là: . 
0.5
Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm