Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2011 – 2012 môn thi: Toán – Lớp 12 chuyên thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề)

UBND TỈNH BẮC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 CHUYÊN
Thời gian làm bài: 180 phút( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 20 tháng 3 năm 2012
Câu 1 (4 điểm).
Giải phương trình sau:
 .
Câu 2 (4 điểm).
Cho dãy số thực thoả mãn: .
Chứng minh rằng dãy số hội tụ và tính giới hạn của dãy số đó.
Câu 3 (3 điểm).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đồng thời thoả mãn: .
Chứng minh rằng tồn tại số thực a sao cho: .
Câu 4 (6 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 
(S): và hai điểm 
a) Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho góc vuông.
b) Tìm toạ độ điểm N thuộc (S) sao cho góc lớn nhất.
Câu 5 (3 điểm).
Cho tập hợp . Tìm số tập con của A có tính chất: ở mỗi tập con ấy, có ít nhất hai số a, b thoả mãn a = 17b.
---------------HẾT---------------
(Đề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 CHUYÊN
Ngày thi 20 tháng 3 năm 2012
==============
Câu 1 (4 điểm).
Giải phương trình sau:
 .
Giải:
Đặt , ta có hệ: .
Giả sử .
Vì x, y, z > 0 nên dẫn đến x = y = z.
Suy ra: .
Dễ thấy hai giá trị này thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = 2.
Câu 2 (4 điểm).
Cho dãy số thoả mãn: .
Chứng minh rằng dãy số hội tụ và tính giới hạn của dãy số đó.
Giải:
- Nhận xét: 
- Dùng phương pháp quy nạp, chứng minh: 
Suy ra tồn tại 
-Từ giả thiết suy ra a là nghiệm của pt: x = sinx.
Dùng đạo hàm, chỉ ra nghiệm duy nhất của pt là x = 0.
Kết luận .
Câu 3 (3 điểm).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đồng thời thoả mãn: .
Chứng minh rằng tồn tại số thực a sao cho: .
Giải:
Xét hàm số:
Từ giả thiết suy ra g(x) có đạo hàm và .
Dẫn đến 
Mà 
Suy ra 
Đặt ta có đpcm.
Câu 4 (6 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 
(S): và hai điểm 
a) Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho góc vuông.
b) Tìm toạ độ điểm N thuộc (S) sao cho góc lớn nhất.
Giải:
a)Giả sử là điểm thỏa mãn vuông. Ta có:
b) Gọi là trung điểm AB, là tâm (S), M(1;3).
Ta thấy:, vuông, suy ra đường tròn (C) đường kính AB tiếp xúc ngoài với (S)
 Do đó với N thuộc (S) thì N không nằm trong (C), dẫn đến ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng N.
Vậy N(1;3) thì góc lớn nhất.
Câu 5(3 điểm).
Cho tập hợp . Tìm số tập con của A có tính chất: ở mỗi tập con ấy, có ít nhất hai số a, b thoả mãn a = 17b.
Giải:
- Để a = 17b thì (a;b) chỉ có thể là một trong số các cặp:
 (1;17), (2;34), (3;51).
- Ký hiệu: là tập các tập con của A có chứa cặp (k;17k) .
Dễ thấy 
Từ đó kết quả là: