Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2021-2022

 1 
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 BÌNH DƯƠNG LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi 18/3/2022 
Thời gian làm bài :150 phút 
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng 
Ngãi.Điện thoại : 0708127776 
Câu 1. (4,0 điểm) 
1.Chứng minh rằng 
2 2
1 1 1 1
1 1
( 1) 1
A
a a a a
     
 
với mọi a>0,áp dụng 
tính
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1
1 2 2 3 99 100
B           
2.Tính 2022 2021 2020 2022 2021 2020( 8 11 ) ( 8 11 )C x x x y y y      biết 4 5, 4 5x y    
Câu 2. (4,0 điểm) 
a.Giải phương trình: 2 22 2 1 (2 1)( 2 1)x x x x x       
b.Giải hệ phương trình:
2022 4044
2022 4044
x y
y x
   

  
Câu 3. (6,0 điểm) 
a.Tìm số tự nhiên n biết tích các chữ số của n bằng 2 10 22n n  
b.Tìm số thực a,b sao cho đa thức 4 3 24 11 2 5 6x x ax bx    chia hết cho đa thức 2 2 3x x  
c.Cho x,y,z các số thực dương thỏa xy+yz+zx+2xyz=1.Chứng minh 
3
2
x y z   
Câu 4. (6,0 điểm) Cho (O),đường kính AB.Gọi C là trung điểm OB và (I) là đường tròn 
đường kính AC.Trên (O) lấy M,N khác A,B.Gọi P,Q là giao điểm thứ hai của AM.AN với 
(I) 
a.Chứng minh MN//PQ 
b.Vẽ tiếp tuyến ME với (I) với E là tiếp điểm.Chứng minh 2 .ME MA MP 
c.Vẽ tiếp tuyến NF với (I) với F là tiếp điểm.Chứng minh 
ME AM
MF AN
 
BÀI GIẢI 
Câu 1. (4,0 điểm) 
1.Chứng minh rằng 
2 2
1 1 1 1
1 1
( 1) 1
A
a a a a
     
 
với mọi a>0,áp dụng 
tính
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1
1 2 2 3 99 100
B           
2.Tính 2022 2021 2020 2022 2021 2020( 8 11 ) ( 8 11 )C x x x y y y      biết 4 5, 4 5x y    
BÀI GIẢI 
1.Ta có 
2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
( 1) 1 1
A
a a a a a a
 
         
   
.Ta có 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 9999
1 1 ... 1 100
1 2 2 3 99 100 100 100
B              
 2 
2.Ta có 24 5 4 5 ( 4) 5x x x        .Tương tự ta có 
24 5 4 5 ( 4) 5y y y        .Từ đó có kết quả. 
Câu 2. (4,0 điểm) 
a.Giải phương trình: 2 22 2 1 (2 1)( 2 1)x x x x x       
b.Giải hệ phương trình:
2022 4044
2022 4044
x y
y x
   

  
BÀI GIẢI 
a.Giải phương trình: 2 2
2
2 2 1 (2 1)( 2 1) (3 1)( 2). ( ) 0 1
3
x
x x x x x x x A x
x

           
 

b.Giải hệ phương trình:
2022 4044 2022 2022
2022 4044 2022 4044
x y x y y x
y x y x
         
 
       
1011
2022 4044
x y
x y
y x

   
  
Câu 3. (6,0 điểm) 
a.Tìm số tự nhiên n biết tích các chữ số của n bằng 2 10 22n n  
b.Tìm số thực a,b sao cho đa thức 4 3 24 11 2 5 6x x ax bx    chia hết cho đa thức 2 2 3x x  
c.Cho x,y,z các số thực dương thỏa xy+yz+zx+2xyz=1.Chứng minh 
3
2
x y z   
BÀI GIẢI 
a.Tìm số tự nhiên n biết tích các chữ số của n bằng 2 10 22n n  
n² - 10n - 22  0 => n(n - 10)  22 => n  12 .Ta có 
1
1 1 0 1 1 0.10 .10 ... .10 .10 .[ ... . ]
k k k
k k k k kn a a a a a a a a a

        (do 1 1 0,.., ,ka a a đ u 10) 
= n² - 10n – 22 => n² - 11n - 22 n(n - 11) n  12. 
V y n = 12. Th ta thấy 1.2 = 2 = 12² - 10.12 - 22 
b.Tìm số thực a,b sao cho đa thức 4 3 24 11 2 5 6x x ax bx    chia hết cho đa thức 2 2 3x x  
Ta có 2 22 3 2 1 4 ( 3)( 1)x x x x x x         .Ta có để đa thức 4 3 24 11 2 5 6x x ax bx    chia 
hết cho đa thức 2 2 3x x  thì 4 3 24 11 2 5 6 ( 3)( 1) ( )x x ax bx x x g x ax b         .Từ đó ta có 
a=2,b=1. 
c.Cho x,y,z các số thực dương thỏa xy+yz+zx+2xyz=1.Chứng minh 
3
2
x y z   
Câu 4. (6,0 điểm) Cho (O),đường kính AB.Gọi C là trung điểm OB và (I) là đường tròn 
đường kính AC.Trên (O) lấy M,N khác A,B.Gọi P,Q là giao điểm thứ hai của AM.AN với 
(I) 
a.Chứng minh MN//PQ 
b.Vẽ tiếp tuyến ME với (I) với E là tiếp điểm.Chứng minh 2 .ME MA MP 
c.Vẽ tiếp tuyến NF với (I) với F là tiếp điểm.Chứng minh 
ME AM
MF AN
 
 3 
Kẻ EH vuông góc với KF. Ta có 
 sinEKF⋅cosEFK+sinEFK⋅cosEKF=(EH⋅FH)/(KE⋅EF)+(KH⋅EH)/(KE⋅EF) 
=EH(FH+KH)/(KE⋅EF)=(EH⋅KF)/(KE⋅EF) =2 S(tam giác 
KEF)/(KE⋅EF)=(KA⋅EF)/(KE⋅EF)=KA/KE=sin∠AEK=cos∠AKE(ĐPCM) 
d cắt 2 trục toạ độ nên hệ số góc khác 0, hay m khác 0. 
Cắt Ox: y=0⇒x=1−mm⇒A(1−m)/m; 0) 
Cắt Oy: x=0⇒y=m−1⇒B:(0; m−1)x=0⇒y=m−1⇒B:(0; m−1) 
SOAB=1/2.OA.OB=1/2.∣(1−m)/m∣.|m−1|=2 
⇒∣∣∣(m−1)^2/m∣∣∣=4 suy ra (m-1)^2/m=4 hoặc -4