Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ LÀO CAI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC: 2020 – 2021
Môn: Toán – Lớp 7
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 12/4/2021
( Đề thi gồm có: 02 trang )
I. Phần trắc nghiệm (5,0 điểm)
Lựa chọn các chữ cái đứng trước câu trả lời đúng ( Từ câu 1 đến câu 3)
Câu 1: Lớp 7A có 42 học sinh, biết rằng số học sinh nữ bằng số học sinh nam. Tính số học sinh nam của lớp 7A.
18	 B. 24	 C. 6	 D. Một kết quả khác
Câu 2: Một vườn hoa hình chữ nhật có 2 cạnh tỉ lệ 3 : 4. Biết đường chéo của hình chữ nhật dài 25m. Tính chiều dài của mảnh vườn
15m	B. 75m	C. 20m	D. 280m
Câu 3: Ba thành phố A, B, C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AB = 35km, BC = 85km. Hỏi cần đặt ở A máy phát sóng có bán kính là số tự nhiên tối thiểu bằng bao nhiêu thì ở C có thể nhận được tín hiệu
50km	B. 51km	C. 120km	D. 119km
Điền kết quả thích hợp vào dấu “” (Từ câu 4 đến câu 10)
Câu 4: Ba tổ học sinh trồng được 268 cây xung quanh vườn trường. Số cây tổ I trồng so với số cây tổ II trồng bằng 3 : 5, số cây của tổ II so với số cây tổ ba trồng bằng 4 : 7. Số cây của mỗi tổ trồng được lần lượt là: 
Tổ I:(cây); Tổ II: ..(cây); Tổ III: ..(cây)
Câu 5: Một tổ học sinh gồm có 7 bạn, trung bình điểm kiểm tra môn Toán học kì 1 của tổ đó là 7 điểm. Có một bạn được chuyển từ tổ khác sang nên điểm trung bình cộng của tổ đó là 7,25 điểm. Bạn được chuyển từ tổ khác sang có số điểm là: (điểm)
Câu 6: Cho: ( ) khi đó giá trị của lần lượt là: 
m = ..; n = ..
Câu 7: Cho tam giác ABC cân ở A, có . Đường trung trực của AB cắt BC ở D. Khi đó số đo góc là: 
Câu 8: Cho tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm. Khi đó khoảng cách từ đỉnh góc vuông đến trọng tâm của tam giác là: (cm)
Câu 9: Từ nhà bạn An đến nhà bạn Dũng có 20 nhà được đánh số nhà là các số chẵn liên tiếp từ bé đến lớn. Biết rằng tổng của 20 số nhà đó bằng 580. Số nhà của bạn An là: 
Câu 10: Cho biết Ax // Cy như hình vẽ 
khi đó 
II. Phần tự luận: ( 15 điểm)
Câu 1: ( 2,0đ)
Thực hiện phép tính: 
Tìm x biết: 
Câu 2: ( 4,0đ) a) Tìm hai số nguyên tố x và y biết: 
b) Tìm số dư khi chia: cho 13
Tìm giá trị lớn nhất của: (
Câu 3:( 3,0đ) a) Cho . Tính giá trị của A biết ; y là số nguyên âm lớn nhất.
Cho a,b,c là các số dương bất kì. Chứng minh rằng: 
không phải là số nguyên.
Câu 4: (2,0đ) Bốn bao gạo có tổng cộng 740kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở bao thứ nhất. 2kg ở bao thứ hai 3kg ở túi thứ ba; 4kg ở bao thứ tư. Lần thứ hai người ta lấy tiếp đi số kg gạo còn lại của bao thứ nhất, số kg gạo còn lại của bao thứ hai; số kg gạo còn lại của bao thứ ba; số kg gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy thứ hai của bốn bao bằng nhau. Tính số kg gạo mỗi bao lúc đầu.
Câu 5: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, tỉ số hai cạnh AB và BC bằng , phân giác BD (). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA; DE cắt BA tại F.
Chứng minh rằng: DA = DE.
Chứng minh rằng: AE // FC.
Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt FC ở G. Chứng minh ba điểm B; D; G thẳng hàng.
---------------------------Hết-------------------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ LÀO CAI
HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANH ĐIỂM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC: 2020 – 2021
Môn: Toán – lớp 7
 ( Đáp án – thang điểm gồm có: 05 Trang )
I. Phần trắc nghiệm ( 5,0đ)
Câu
Đáp án 
Điểm
1
B
0,5đ
2
C
0,5đ
3
C
0,5đ
4
Số cây tổ 1, 2, 3 lần lượt là: 48; 80; 140
0,5đ
5
9
0,5đ
6
m = 3; n = 5
0,5đ
7
0,5đ
8
0,5đ
9
10
0,5đ
10
0,5đ
II. Phần tự luận ( 15 điểm)
Câu
Đáp án
Điểm
1
a)
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a) 
Với y = 2 ( t/m)
 y = 3 ( Loại)
Với y > 3 , x > 3
Xét
=> x là hợp số ( Loại)
=> x là hợp số ( Loại)
Vậy x = 3, y = 2
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) có 
Có
Vậy chia 13 dư 1
0,25
0,25
0,25
0,25
c) , 
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi n = 1
Vậy MaxA = khi n = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a) , với 
y là số nguyên âm lớn nhất => y = - 1
Thay vào biểu thức A ta được
0,25
0,5
0,75
0,5
b) Với 3 số nguyên dương a,b,c ta có: 
Với hai số , ta chứng minh thật vậy ta có:
, vì 
Áp dụng bất đẳng thức trên với a,b,c dương ta có:
Vì , và 
 (1)
Chứng minh tương tự ta được 
Từ (1); (2) và (3) ta suy ra
Vậy không phải là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Gọi số kg gạo ở 4 bao lần lượt là x,y,z,t (kg) (0 < x,y,z,t < 740) 
Số kg gạo ở 4 bao sau khi lấy lần 1 còn lại lần lượt là: x – 1 (kg) ; y – 2 (kg)
; z – 3 (kg); t – 4 (kg)
Số kg gạo ở 4 bao sau khi lấy lần 2 còn lại lần lượt là: 
Vì số gạo sau hai lần lấy ở 4 bao còn lại bằng nhau nên ta có:
Vì tổng số gạo ở 4 bao là 740kg nên ta có: 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy số kg gạo ở mỗi bao lần lượt là: 151(kg); 162(kg); 183(kg); 244(kg)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
a) Xét và , có 
 BD: Cạnh chung
 ( BD là phân giác của )
Suy ra 
 ( Cạnh tương ứng) (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Theo a) ta có ( Hai góc tương ứng)
Xét và , có
 ( Đối đỉnh)
 DE = DA (chứng minh phần a)
Suy ra ( g – c – g )
=> FA = CE ( Hai cạnh tương ứng) , mà DE = DA (cm phần a)
=> BF = BC => cân tại B
=> (1)
Xét , có AB = AE => cân tại B
=> (2)
Từ (1) và (2) => , mà hai góc này ở vị trí đồng vị
=> AE // FC ( đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Theo bài ta có AB = => E là trung điểm của BC (3)
Theo b ta có (4)
Từ (3) và (4) ta có FE vừa là đường cao, đường trung tuyến của tam giác FCB => Tam giác FCB cân tại F => FC = FB
Mà theo b, cân tại B => BF = BC => FC = FB = BC
=> đều 
Theo bài ta có AG // BC => ( Đồng vị), 
mà đều => => => cân tại A => 
GA = FA, tam giác FBC đều có AC là đường cao => AC là đường trung tuyến=> 
=> BG là đường trung tuyến của tam giác đều FBC => BG cũng là đường phân giác, mà BD là phân giác của tam giác FBC => B; G; D thẳng hàng
0,25
0,25
0,25
0,25