Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội

 1 
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TP 
 HÀ NỘI LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi 26/12/2021 
Thời gian làm bài :150 phút 
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng 
Ngãi.Điện thoại : 0708127776 
Câu 1. (5,0 điểm) 
a.Giải phương trình: 3 3 1 3x x x     
b.Cho a,b,c số thực khác 0 thỏa 2 2 2 2;a ab c bc a ac b bc      tính giá trị của 
1 1 1
a b c
K
b c a
   
      
   
Câu 2. (5,0 điểm) 
a.Tìm số tự nhiên m,n thỏa 23 2022m n  
b.Tìm số nguyên tố p thỏa phương trình 3 3 3 1x y xy p    có nghiệm nguyên dương 
Câu 3. (2,0 điểm)Cho a,b,c số thực thỏa 0 , , 1, 2.a b c a b c     .Tìm min,max của 
1 1 1
ab bc ca
P
ab bc ca
  
  
Câu 4. (6,0 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF 
của tam giác ABC đồng quy tại trực tâm H. Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của đường 
thẳng EF với hai đường thẳng AH, AO. 
1) Chứng minh gócAQE = 90°. 
2) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh 2 .IE IK ID . 
3) Gọi R, J lần lượt là trung điểm của BE, CF. Chứng minh JR vuông góc với QD. 
Câu 5. (1,0 điểm) 
 1. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số 3 3( )( )a b b a  là lập phương của một số 
nguyên tố. 
2. Trên bảng ta viết số tự nhiên 2222 gồm 2022 chữ số 2. Mỗi bước ta chọn 22 chữ số 
liên tiếp nào đó có chữ số ngoài cùng bên trái bằng 2, rồi biến đổi các chữ số được chọn 
theo qui tắc: chữ số 2 đổi thành chữ số 0 còn chữ số 0 đổi thành chữ số 2. 
a) Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số hữu hạn bước. 
b) Giả sử sau khi thực hiện được n bước thì không thể thực hiện được thêm bước nào nữa. 
Chứng minh n là số lẻ.