Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia Lớp 12 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QG 
 VIỆT NAM LỚP 12_THPT NĂM HỌC 2021-2022 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút 
Năm học 2021-2022.Ngày thi 27-28/3/2022 
Thời gian làm bài :180 phút 
Ngày thi thứ nhất (04/03/2022) 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1 (5,0 điểm) 
Cho a là một số thực không âm và dãy số ( )nu được xác định bởi 
1 1
2
6, 4, 1n n
n a n a
u u u n
n n

 
     . 
a) Với a=0, chứng minh rằng ( )nu có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
b) Với mọi 0a  , chứng minh rằng ( )nu có giới hạn hữu hạn. 
Bài 2 (5,0 điểm) 
Tìm tất cả các hàm số f:(0;+∞)→(0;+∞) thoả mãn 
( )
1 ( ), , (0; )
f x
f y f y x y
x
 
 
     
 
Bài 3 (5,0 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC. Các điểm E,F lần lượt thay đổi trên tia đối của các 
tia BA,CA sao cho BF=CE (E≠B, F≠C). Gọi M,N tương ứng là trung điểm 
của BE,CF và D là giao điểm của BF với CE. 
a) Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác DBE,DCF. Chứng minh 
rằng MN song song với IJ. 
b) Gọi KK là trung điểm của MN và H là trực tâm của tam giác AEF. Chứng minh 
rằng HK luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 4 (5,0 điểm) 
Với mỗi cặp số nguyên dương (n,m) thoả mãn n<m, gọi s(n,m) là số các số nguyên 
dương thuộc đoạn [n;m] và nguyên tố cùng nhau với m. Tìm tất cả các số nguyên 
dương m≥2 thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 
i) 
( , ) (1, )s n m s m
m n m


với mọi n=1,2,...,m−1; 
ii) 2022 1m  chia hết cho 2m . 
Ngày thi thứ hai (05/03/2022) 
Thời gian: 180 phút 
Bài 5 (6,0 điểm) 
Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, 
trong đó các hệ số của P(x) đều không vượt quá 2021 và Q(x) có ít nhất một hệ số 
lớn hơn 2021. Giả sử P(2022)=Q(2022) và P(x),Q(x) có chung nghiệm hữu 
tỷ 0
p
q
 (p,q∈Z; p và q nguyên tố cùng nhau). Chứng minh 
rằng | | | | ( ) ( )p n q Q n P n   với mọi n=1,2,...,2021. 
Bài 6 (7,0 điểm) 
Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu (1 6)i ix x  là số chấm trên mặt xuất 
hiện của con súc sắc thứ i(i=1,2,3,4). 
a) Tính số các bộ 1 2 3 4, , , x x x x có thể có. 
b) Tính xác suất để có một số trong 1 2 3 4, , , x x x x bằng tổng của ba số còn lại. 
c) Tính xác suất để có thể chia 
1 2 3 4, , , x x x x thành hai nhóm có tổng bằng nhau. 
Bài 7 (7,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có B,C cố định trên đường tròn (O) (BC không đi qua tâm O) và 
điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AB≠AC. Đường tròn nội tiếp (I) của tam 
giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Gọi aI D là tâm đường tròn bàng tiếp góc BAC, L là 
giao điểm của aI D với OI và E là điểm trên (I) sao cho DE song song với AI. 
a) Đường thẳng LE cắt đường thẳng AI tại F. Chứng minh rằng AF=AI. 
b) Trên đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác aI BC lấy điểm M sao cho aI M song song 
với AD, MD cắt lại (J) tại N. Chứng minh rằng trung điểm T của MN luôn thuộc một 
đường tròn cố định. 
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN 
DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ 2022 
Ngày thi thứ nhất (26/04/2022) 
Trương Quang An 
Thời gian: 270 phút 
Bài 1: Cho số thực  và xét hàm số 2( ) xx x e  với x∈R. Tìm tất cả các hàm 
số f:R→R thoả mãn 
( ( ) ( )) ( ( ))f x f y y f x    với mọi x,y∈R 
Bài 2: Cho một khối đa diện lồi 2022 mặt. Trên ba mặt nào đó của nó, có sẵn các 
số 26,4 và 2022 (mỗi mặt có đúng một số). Người ta muốn điền vào mỗi mặt còn lại 
một số thực sao cho mỗi số được điền bằng trung bình cộng của các số trong các mặt 
có cạnh chung với mặt chứa nó. Chứng mình rằng tồn tại duy nhất một cách điền như 
vậy. 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có I là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Xét 
điểm G bên trong tam giác IAB sao cho 45
4
o AIBIAG IBG   . Ký hiệu E,F tương 
ứng là hình chiếu của C lên AG và của D lên BG. Trung tuyến đỉnh E của tam 
giác BEF và trung tuyến đỉnh F của tam giác AEF cắt nhau tại H. 
a) Chứng minh rằng AF,BE và IH đồng quy. Gọi điểm đồng quy đó là L. 
b) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và DF. Gọi J là tâm của đường tròn 
ngoại tiếp tam giác LAB và M,N lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam 
giác EIJ và FIJ. Chứng minh rằng EM,FN và đường thẳng nối tâm các đường tròn 
ngoại tiếp hai tam giác GAB,KCD thì đồng quy. 
Ngày thi thứ hai (27/04/2022) 
Thời gian: 270 phút 
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn (O). Một đường 
thẳng qua O và trung điểm I của BC cắt các đường thẳng AAB,AC theo thứ tự 
tại E,F. Gọi D,G lần lượt là các điểm đối xứng của A qua O và qua tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác AEF. Gọi K là điểm đối xứng của O qua tâm của đường tròn 
ngoại tiếp tam giác OBC. 
a) Chứng minh rằng các điểm D,G,K thẳng hàng. 
b) Trên các đường thẳng KB,KC lần lượt lấy các điểm M,N sao 
cho IM⊥AC và IN⊥AB. Trung trực của IK cắt MN tại H. Giả sử IH cắt AB,AC lần 
lượt tại P,Q. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ thì cắt lại (O) tại 
một điểm thuộc đường thẳng AI. 
Bài 5: Một số hữu tỉ x được gọi là "đẹp" nếu nó có thể biểu diễn hữu hạn trong hệ cơ 
số b với b là số nguyên dương thuộc [2;2022]. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số 
nguyên dương n≥4 sao cho với mọi m nguyên dương thuộc khoảng 
2
;
3
n
n
 
 
 
thì trong 
hai số ,
m n m
n m m


, có ít nhất một số đẹp. 
Bài 6: Cho tập hợp A={1;2;...;4044}. Người ta tô màu 2022 phần tử trong A bởi màu 
trắng và 2022 phần tử còn lại bởi màu đen. Với mỗi số i∈A, ta gọi "trọng số" của i là 
số lượng của các số được tô màu trắng nhỏ hơn i và các số được tô màu đen lớn 
hơn i. Với mỗi số tự nhiên m, hãy xác định tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn 
tại cách tô màu tập hợp A để có đúng k số có trọng số đúng bằng m. 
Bài 3: 
a) Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của BF, AE. 
IE cắt BF tại J, IF cắt AE tại K. 
BE cắt AF tại L. 
Dễ thấy IA=IE,IB=IF . 
Lại có ∠IBG=∠IAG nên ∠AIE=∠FIB, suy ra ∠AIF=∠EIB 
⇒ΔIAF=ΔIEB(c.g.c) . 
Đồng thời ∠IFB=∠IEA nên tứ giác FJKE nội tiếp. 
Dẫn đến 
JF IF BF
KE IE AE
  hay 
JB KA
JF KE
 .Từ đó (BF,XJ)=(AE,YK) . 
Suy ra E(LF,HI)=F(LE,HI) . 
Theo tính chất tỉ số kép ta có L,H,I thẳng hàng. 
Hình gửi kèm 
 
Lời giải câu 3: 
a) Lấy U, V trung điểm AF, BE thì (IU, IV); (IE, IF) và (IA, IB) đẳng giác đỉnh I của IAB nên áp dụng 
(hai lần) bổ đề đẳng giác ta có đpcm. 
b) Lấy X, Y tâm (KCD), (LAB) thì X, Y, I thẳng hàng và L thuộc (AG'B) với G' là liên hợp đẳng giác 
của G trong IAB. Do đó, IY và IJ đẳng giác đỉnh I của IAB. Thêm nữa, chứng minh IJ vuông EF tại S. 
Từ đó EM, FN đồng quy tại T là điểm liên hợp đẳng giác của S trong tứ giác IEJF. Nên I, T, Y thẳng 
hàng. 
Bài hình học câu b) có thể chia ra thành 2 bài toán nhỏ: 
1) Chứng minh FN và EM cắt nhau tại một điểm trên đường nối I với tâm (EIF). 
2) Phát biểu lại như bổ đề: Cho tam giác EIF. Dựng ra ngoài các tam giác DIF và CIE cân tại I và 
đồng dang. FD giao EC tại K. O,J lần lượt là tâm của (EIF), (DEK) thì O,J,I thẳng hàng. 
Lời giải bài 2: 
Kết quả 1: Với ba số ban đầu là 0, 0, 0 thì có đúng một cách điền thoả mãn là tất cả các số được điền 
đều là 0. 
Thật vậy, không mất tổng quát, giả sử trong các số được điền có số khác 0, không mất tổng quát giả sử 
số đó là số dương (nếu không thì thay đổi dấu của tất cả các số được điền). Gọi số dương lớn nhất được 
điền là M > 0. Khi đó các số kề với số này cũng phải bằng M. Cứ như thế nếu mặt nào đó được điền M 
thì các mặt kề với nó cũng được điền M. Tiếp tục như thế thì ta sẽ có điều vô lý thì chỉ có hữu hạn mặt. 
Hệ quả của kết quả 1 là với ba số ban đầu là ba số bất kì thì có không quá một cách điền số thoả mãn. 
Kết quả 2: Cho k ≤ 2021, với k số ban đầu bất kì, luôn tồn tại cách điền các số còn lại thoả mãn. 
Ta chứng minh bằng quy nạp lùi theo k. Với k = 2021, còn lại 1 số phải điền và hiển nhiên tồn tại cách 
điền là số đó bằng trung bình cộng của các số kề nó. 
Giả sử khẳng định đã đúng tới k ≤ 2021. Ta chứng minh cho k - 1. Đặt N = 2022 - k. 
Ta xét các số cần điền là x[1], x[2],...,x[N] và X[N+1]. Theo giả thiết quy nạp, với mỗi giá trị của 
x[N+1] = y, luôn tồn tại cách các số x[1],...,[N] thoả mãn. 
Khi đó t[i]x[i] = v[i]y + a[i] với t[i] ≥ 2 là số cạnh của mặt chứa x[i] và v[i] = 0 hoặc 1 phụ thuộc vào 
việc mặt chứa x[i] có kề với mặt chứa x[N+1] hay không. Viết lại x[i] = (v[i]/t[i])y + b[i] với b[i] = 
a[i]/t[i]. 
Xét điều kiện với N + 1, ta phải có t[N+1]y = sum v[i]x[i] + C = sum (v[i]^2/t[i])y + D, tổng chạy từ 1 
đến N. Rõ ràng là v[i] = 0 hoặc 1 nên v[i]^2 = v[i] và sum v[i] = t[N+1] và t[i] ≥ 2 nên sum v[i]^2/t[i] ≤ 
1/2 t[N+1]. Do đó t[N+1] - sum v[i]^2/t[i] = Q > 0, do đó chọn y = D/Q sẽ thoả mãn. 
Theo nguyên lý quy nạp thì khẳng định đúng với mọi k ≤ 2021. 
Kết hợp hai kết quả 1 và 2 ta có tồn tại duy nhất một cách điền số thoả mãn.