Ra đề thi HSG-LT03 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO RA ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi. Bài 1: ( 2 điểm) Cho biểu thức a, Rút gọn biểu thức P. b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 2: (2 điểm) a) Giải các phương trình sau: b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Bài 3: (2 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỉ, đồng thời là số nguyên tố. b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x2 ) = 4y(y -1) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 5: (1 điểm) Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng: ---------- HẾT ---------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................ Đáp án Ra đề thi HSG-LT03 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi:Toán - Lớp 9 Bài 1: (2điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A ĐKXĐ 0,25 Ta có 0,75 B Áp dụng BĐT Cô – si ta có: 0,75 Vậy GTLN của Q= khi x=2 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a ĐKXĐ: x0. (1) 0,25 0,25 (2) 0,25 Từ (1),(2) suy ra: ,dấu “=” xảy ra khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0. 0,25 b Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0). m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 đơn vị (1). m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2). m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: và . Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có: Suy ra (3). Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là , đạt được khi và chỉ khi m =. Kết luận: m =. Cách 2: Tìm điểm cố định: 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỉ, đồng thời là số nguyên tố. Ta có . . 0,25 0,25 0,25 Vì và là số nguyên tố nên Từ đó suy ra (thỏa mãn). 0,25 b x(1 + x + x2 ) = 4y(y - 1) Û x + x2 + x3 + 1 = 4y2 – 4y + 1 Û (x2 + 1)(x + 1) = (2y - 1)2 (1) Do (2y - 1)2 là số lẻ, gọi d = (x2 + 1,x + 1) Þ d là số lẻ x2 + 1 d và (x + 1)(x – 1) d Þ 2 d mà d lẻ nên d = 1 nên x2 + 1 và x + 1 nguyên tố cùng nhau với x, y là các số nguyên thì (2y - 1)2 là số chính phương nên x2 + 1 và x + 1 đều là số chính phương lại có x2 và x2 + 1 là hai số chính phương liên tiếp Þ x2 = 0 Þ x = 0 Thay x = 0 vào phương trình (1) ta tìm được y = 0, và y =1 Vậy các cặp số tự nhiên (x,y) là (0,1); (0,0). 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a 0,25 ( cùng nhìn cạnh BC) 0,5 Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC. 0,25 b Ta có DCAC Mà HEAC; suy ra BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành 0,25 0,25 0,25 0,25 c Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD. Do đó AM, HO trung tuyến của G trọng tâm của Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, Suy ra G là trong tâm của 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Do a,b,c > 0 áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) Û [a + (b + c)] ó Tương tự ta thu được : , Cộng theo vế ta được: ++³ 2 0,25 0,25 0,25 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đề là số dương ). Từ đó suy ra : 0,25
Tài liệu đính kèm: