Đề thi chọn học sinh giái lớp 7 năm học 2015 -2016 môn thi: Toán - Trường THCS Hà Yên

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG
 ĐỀ THI CHỌN HỌC Sinh giỏI LỚP 7
TRƯỜNG THCS HÀ YấN 
NĂM HỌC 2015 -2016
Mụn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Cõu 1. (4 điểm) 
Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giỏ trị bất kỡ của x; 
y1, y2 là hai giỏ trị tương ứng của y. Tớnh y1, y2 biết y12+ y22 = 52 và x1=2 , x 2= 3.
 b. Tớnh : A =
Cõu 2. (4 điểm)
	a. Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . 
	+ Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của A(x)
	+ Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 
 b. Tỡm x, y, z biết: , và 
Cõu 3. ( 4 điểm)
a. Tỡm x biết rằng 
b. Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n thỡ: 
chia hết cho 10
Cõu 4. (6 điểm)
Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trờn AC; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o; =25o .
Tớnh và 
Cõu 5. (2 điểm) 
 Tỡm cỏc số a,b,c nguyờn dương thoả món: a+3a+5 = 5b và a + 3 = 5c
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
Mụn thi : Toỏn
 TRƯỜNG THCS HÀ YấN 
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
(4 điểm)
a. Vỡ x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nờn: 
Với y1= - 6 thì y2 = - 4 ; 
Với y1 = 6 thì y2= 4 .
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
Cõu2
( 4 điểm )
a. + A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+...+ (-1)99 + (-1)100
 = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) +...(-1) + 1 = 0 
( vì có 50 số -1 và 50 số 1)
Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x)
+ Với x= thì giá trị của đa thức A = 
() =
 2 A =() +1 - 
0.5
0.25
0,25
0,5
0.25
0.25
b. Từ giả thiết: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (*)
Ta cú: 
Do đú: 
KL: 
0.25
0.25
0.25
 0. 5
 0.25
0.5
Cõu 3
(4 điểm)
a. Xột khoảng x < 1 ta cú: (1) (1 – x ) + ( 3 – x )
 = 2x – 1 
 -2x + 4 = 2x – 1 
 x = 
(giỏ trị này khụng thuộc khoảng đang xột)
Xột khoảng 1 x 3 ta cú: 
 (1) (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 
 2 = 2x – 1 
 x = 
( giỏ trị này thuộc khoảng đang xột)
Xột khoảng x > 3 ta cú: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
 0x = 3 ( Vụ lớ)
Kết luận: Vậy x = . 
0,5
0,5
0,5
0,5
 b. = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n-1)
Vậy 10 với mọi n là số nguyờn dương.
0,5
0,5
0,5
0,5
Cõu 4
( 6 điểm )
Vẽ hỡnh ,ghi GT, KL
0,5
a. Xột và cú :
 AM = EM (gt )	
 = (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nờn : = (c.g.c )	0,5 điểm
 AC = EB	
Vỡ = = 
(2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) 
Suy ra AC // BE . 
1
0,5
0,5
0,5
b. Xột và cú : 
AM = EM (gt )
= ( vỡ )
AI = EK (gt )
Nờn ( c.g.c ) 	
Suy ra = 	
Mà + = 180o ( tớnh chất hai gúc kề bự )	
 + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 
1
0,5
0,5
c. Trong tam giỏc vuụng BHE ( = 90o ) cú = 50o 
Trong tam giỏc vuụng BHE ( = 90o ) cú = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o 	
 = - = 40o - 25o = 15o 	
 là gúc ngoài tại đỉnh M của 
 Nờn = + = 15o + 90o = 105o 
 ( định lý gúc ngoài của tam giỏc 
1
0,5
Cõu 5
( 2 điểm )
Do a ẻ Z + => 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c
=> 5b > 5c => b>c
=> 5b 5c
=> (a3 + 3a2 + 5) ( a+3)
=> a2 (a+3) + 5 a + 3
Mà a2 (a+3) a + 3 [do (a+3) (a+3)]
=> 5 a + 3
=> a + 3 ẻ Ư (5)
=> a+ 3 ẻ { ± 1 ; ± 5 } (1)
Do a ẻ Z+ => a + 3 ³ 4 (2)
Từ (1) và (2)
=> a + 3 = 5 => a = 5 – 3 =2
=> 23 + 3 . 22 + 5 = 55 25 = 5b 52 = 5b b = 2
 2 + 3 = 5c 5 = 5c 5 = 5c c = 1
Vậy : 	a = 2
b = 2
c = 1	
0, 5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
 Lưu ý .Học sinh cú cỏch giải khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.