Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán – thpt thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

 SỞ GD & ĐT BẮC NINH
 TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
 NĂM HỌC 2015 – 2016
 Môn thi: Toán – THPT
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 Ngày thi: 17 tháng 09 năm 2015 
Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số: , với là tham số. Chứng minh rằng với mọi , hàm số luôn có hai điểm cực trị . Khi đó tìm các giá trị của tham số để (trong đó là gốc toạ độ).
Câu 2 (3.0 điểm) Giải phương trình: .
Câu 3 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (4.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có lần lượt thuộc các đoạn sao cho , và tam giác CEF vuông tại F. Biết đường thằng qua hai điểm C, E. Tìm toạ độ điểm C biết C có hoành độ dương.
Câu 5 (3.0 điểm) Cho tứ diện ABCD có và . 
Tính thể tích của khối tứ diện theo .
Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi của tam giác BCD.
Câu 6 (2.0 điểm) Tính: 
Câu 7 (2.0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
-------------------------- Hết --------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.................................................. Số báo danh:....................................
SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2014 - 2015
 Môn: TOÁN; Khối 12
 (Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(3.0 điểm)
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị..
Ta có: 
Với mọi , ta có: 
 Hàm số luôn có hai điểm cực trị. 
1.0
Vai trò A, B như nhau nên giả sử . Ta có:
1.0
(thỏa mãn đk)
Vậy giá trị m cần tìm là: và .
1.0 
2
(3.0 điểm)
Giải phương trình:
PT 
1.0
1.0
1.0
3
(2.0 điểm)
Giải hệ phương trình
ĐKXĐ: (Thiếu điều kiện trừ 0.5)
PT (1) 
0.5
Xét hàm số: liên tục trên 
Có 
Suy ra hàm số đồng biến trên 
Nên pt (3) 
1.0
Thay vào pt (2) ta được pt: 
1.0
.( Vì với
 )
Vậy hệ pt có hai nghiệm: .
0.5
4
(3.0 điểm)
 và có: (vì cùng phụ với góc ), 
 mà 
 . Do đó: 
 vg cân tại F
1.0
Gọi H là hình chiếu củaF trên EC. Khi đó: 
1.0
Gọi với (vì ). Ta có: 
1.0
Với . Vậy (không loại nghiệm trừ 0.5)
1.0
5
(3.0 đ)
Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm sao cho: . Khi đó tứ diện là tứ diện đều cạnh có thể tích: 
Ta có:
1.5
Chu vi tam giác BCD: 
Vậy khi .
1.5
6
(2.0 đ)
Chứng minh: 
0.5
Khi đó: 
Ta lại có: 
0.5
Vậy 
0.5
7
(2.0 đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất 
Ta có: ; 
0.5
Đặt: , đk: 
0.5
Có 
Lập BBT suy ra 
0.5
Suy ra: khi 
0.5