Đề thi chọn đội tuyển dự thi hsg quốc gia lớp 12 thpt năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

UBND TỈNH BẮC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 03 tháng 10 năm 2014
Câu 1 (3,0 điểm).
	Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: 
 	.
Câu 2 (4,0 điểm).
 	Cho dãy số thỏa mãn .
	Tính .
Câu 3 (5,0 điểm).
 	Cho không cân, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tương ứng tại . Gọi thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp của . 
	a/ Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy. 
	b/ Gọi điểm đồng quy của ba đường thẳng là . Giả sử . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Câu 4 (4,0 điểm).
 	Một số nguyên dương được gọi là “số đẹp” nếu tồn tại các số nguyên dương sao cho .
	a/ Chứng minh rằng có vô số “số đẹp”.
	b/ Số 2014 có là “số đẹp” hay không ? 
Câu 5 (4,0 điểm).
 	Xét các số nguyên dương thỏa mãn (1). Chứng minh rằng ta có thể chia tập hợp các số nguyên dương thành 2014 tập con khác tập , đôi một rời nhau sao cho cứ ba số thỏa mãn (1) thì có ít nhất hai số thuộc cùng một tập con.
------------ Hết ------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................................Số báo danh :...