Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
 DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2011 - 2012
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi: 07/02/2012
Bài 1. (4 điểm)
 1. Rút gọn biểu thức A = 
 2. Cho biểu thức B = 
Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng.
Bài 2. (3,0 điểm): Tìm x biết : 
Bài 3. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình : 
Bài 4. (1,5 điểm) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố. chia hết cho 8. Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai số x,y đều chia hết cho P.
Bài 5. (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc đường kính AB (E khác A và B). Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) tại I. Chứng minh rằng: 
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng. 
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
c) ∆CHO = ∆HIO’.
d) không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB.
Bài 6. (2,0 điểm) Cho (O; R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R. Tìm vị trí điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất? 
 Bài 7 (1,0 điểm). Cho . Chứng minh rằng .
Bài 8 ( 1,0 điểm) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có: 
________________________________
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN PHÙ NINH
HD CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2011 - 2012
Ngày thi: 07/02/2012
Bài 1 (4 điểm) 1. Rút gọn biểu thức A = (2 điểm)
 2. Cho biểu thức B = 
Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng (2 điểm)
HD chấm: Bài 1 (4 điểm)
1/ (2 điểm)
 A = 
Nhân tử và mẫu mỗi phân thức cho ta có:
A= ...0,5 đ
A=...0,5 đ
A= .0,25 đ
A =.0,25 đ
A = ..0.25 đ
A = 
A = ....0,25 đ
 2/ Cho biểu thức:
 B = 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B và giá trị x tương ứng(2 điểm)
Với điều kiện xác định: . Ta có B0 ..0,25 đ
B2 = 2 +2...0,25 đ
Ta có:
 x – 2 + 4 – x 0,25 đ
Do đó: B2 =2 + 22+2 0,25 đ 
 B2 4..0,25 đ
 B20,25 đ
Vậy B lớn nhất là bằng 2.0,25 đ
 khi x - 2 = 4 - x x = 3...0,25 đ
Bài 2. (3,0 điểm): Tìm x biết : 
HD chấm: Bài 2. (3,0 điểm): 
2 ...0,5 đ
 ....0,25 đ
 ..0,25 đ
Vế trái không âm, x2+1 dương nên 2x+1 không âm..0,25 đ
 .0,25 đ
 .0,25 đ
 .0,25 đ
 .....0,25 đ
 ...0,25 đ
2x+1=0 hoặc x2 =0..0,25 đ
x = hoặc x = 0 (thỏa điều kiện)0,25 đ
Bài 3: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình : 
ĐKXĐ của hệ phương trình 
Đặt =a
0,5
0,5
Nếu xyz=1 thì x=y=z=1
Nếu xyz=-1 thì x=y=z=-1
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y;z) là: (1;1;1),(-1;-1;-1).
0,5
Bài 4: (1,5 điểm) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố. chia hết cho 8. Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai số x,y đều chia hết cho P.
Đặt P=8k+5 ( k là số tự nhiên)
Ta có 
0,5
Mà và b<P
-Nếu trong hai số x,y có một số chia hất cho P. thì từ (*) ta suy ra số thứ hai cũng chia hết cho p.
0,5
Nếu cả hai không chia hết cho P , theo định lý Fec- ma ta có
 mâu thuẫn với (*)
Vậy cả hai số x,y cùng chia hết cho P.
0,5
Bài 5. (5,0 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc đường kính AB (E khác A và B). Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) tại I. Chứng minh rằng: 
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng. 
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
c) ∆CHO = ∆HIO’.
d) không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB.
Vẽ hình đúng (0,5đ)
a) (1,5đ)
Tứ giác ACED là hình thoi (vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm) => AC // DE
Mà AC BC => DE BC (1)
I thuộc (O’) => EI IB hay EI BC (2)
Từ (1) và (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
 b) (1,0đ)
Vì và mà (cùng phụ với ) 
Do đó: , suy ra HI là tiếp tuyến của (O’)
0,5đ
0,5đ
c) (1,0đ)
Xét 2 tam giác vuông HCO và IHO’ có HC = HI (vì cùng = HD) (3)
Ta có OC =R(O)
HO’ = HE + EO’ = 1/2AE + 1/2EB = 1/2.2R(O)= R(O) 
=> OC = HO’ (4)
Từ (3) và (4) => (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
0,5đ
0,5đ
d) (1,0đ) 
Ta có: HA2 + HB2 = AC2 ; HC2 + HD2 = BD2
Mà BD = BC (do AB là đường trung trực của CD)
Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2
Mặt khác: nội tiếp đường tròn đường kính AB ACB vuông tại C
 AC2 + BC2 = AB2 = 4R2
Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 Bài 6. (2,0 điểm): Cho (O; R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R. Tìm vị trí điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất? 
Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O; R). Trên đoạn OC lấy điểm N sao cho
Suy ra suy ra ~(c.g.c)
 (không đổi)
Dấu “=” xẩy ra khi M thuộc đoạn NB. Vậy M là giao điểm của đoạn NB với đường tròn (O; R)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
 Bài 7 (1,0 điểm). Cho . Chứng minh rằng .
Áp dụng BĐT AM-GM ta có 
Chứng minh tương tự ta được
0,25
Suy ra 
0,25
Dấu bằng xảy ra (Trái với giả thiết)
Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm.
0,5
Bài 8 ( 1,0 điểm) 	Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có: 
Vì ta có: 
 0,5
(*)
Giả sử thì . Với cạnh c lớn nhất 
nhọn (gt) do vậy kẻ đường cao BH ta có từ đó suy ra biểu thức (*) là không âm suy ra điều phải chứng minh 0,5