Đề thi các giải thưởng khối 10 năm học: 2015 - 2016 thời gian làm bài: 150 phút

TRƯỜNG THPT TP CAO LÃNH ĐỀ THI CÁC GIẢI THƯỞNG KHỐI 10
 TỔ TOÁN NĂM HỌC: 2015-2016
 Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 ( 5 đ). a).Cho phương trình 
Tìm a để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn .
b). Giải bất phương trình : 
Câu 2 ( 3 đ) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x 
Câu 3 ( 3 đ). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.
Chứng minh rằng với mọi điểm M nằn trên đường tròn thì tổng 
 Q= MA2 +MB2 +MC2 không đổi.
Câu 4 ( 3 đ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M(1;-1) là trung điểm cạnh BC và là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Câu 5 ( 2 đ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD, có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết AD=3BC, đường thẳng BD có phương trình x+2y-6=0, tam giác ABD có trực tâm H(-3;2). Tìm tọa điểm C, D ( với D có hoành độ dương).
Câu 6 ( 2 đ). Cho hai số thực x>0, y>0 và thỏa mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 7 ( 2 đ). Giải hệ phương trình 
Hết
Hướng dẫn chấm
Câu
Nội dung
Điểm
C 1a/ 2.5 đ.
 Cho phương trình 
Ta có 
Ta có 
Vậy a=-1 là gí trị cần tìm.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
C1b/
2.5đ
0.5
0.5+0.5
0.5
0.5
C2/3
M==
==
0.5+0.5
0.5+0.5
0.5+0.5
C3/3đ
Ta có Q= MA2 +MB2 +MC2 =
( vì tam giác ABC đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC)
0.5
1
0.5
1
C4/3đ
 A
 G
 B 
 M C
Ta có 
B, C thuộc đường thẳng qua M, vuông góc với MA và thuộc đường tròn tâm M bán kính MA
BC: -x+3y+4=0
(M,MA): (x-1)2+(y+1)2= 10.
(4;0), (-2;-2).
Kết luận A(0;2), B, C có tọa độ (4;0), (-2;-2)
0.5+0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
C5/2đ
 B C
 I 
 H
 A D
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình thang. Dễ thấy tam giác BIC vuông cân tại I,
 và tam giác CBH vuông cân tại B, từ đó suy ra I là trung điểm của CH. Từ đó suy ra tọa độ của C là nghiệm của hệ pt
. Vậy C(-1;6).
Ta có I(-2;4), tam giác BIC và DIA đồng dạng, tỷ số k=3. Từ đó suy ra 
D nằm trên đường thẳng BD, và nằm trên đường tròn tâm I, bán kính IA, vậy tọa độ của D là nghiệm hệ pt
D(4;1)
0.5
0.5
0.5
0.5
C6/2đ
Đặt , u,v>0, u2+v2=1
Ta có 
Ta có 
Đẳng thức xảy ra 
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
C7/2đ
Điều kiện 
Đặt u=x-1, v=y-2 khi đó (1 ) trở thành
Suy ra y=x+1 (3)
Thay (3) vào (2) ta có 
Từ (4) suy ra x=6, y=7
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Từ (5) 
TV(6)=VP (vn)
Kết luận hệ đã cho có nghiệm x=6, y=7.
0.25
0.25