Đề tài Ứng dụng đạo hàm để giải toán trung học phổ thông

N. V. XÁ 
---- 
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM 
ðỂ GIẢI TỐN 
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[01] Bộ Giáo dục và ðào tạo, Sách Giáo khoa, Sách Giáo viên, Sách bài tập, 
Tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức – kĩ năng Tốn 10, 11, 12, Nhà 
xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011. 
[02] Phan ðức Chính (chủ biên), Các bài giảng luyện thi mơn Tốn, tập ba, 
Nhà xuất bản Giáo dục, 2001. 
[03] Nguyễn Thuỷ Thanh, Phương pháp giải các dạng tốn cơ bản THPT, tập 
hai: Giải tích, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011. 
[04] Các đề thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh ðại học, Cao đẳng, thi Học 
sinh giỏi các năm. 
[05] Tạp chí Tốn học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. 
MỤC LỤC 
Trang 
Tài liệu tham khảo 1 
Mục lục 2 
1. KHÁI NIỆM ðẠO HÀM 3 
1.1. ðịnh nghĩa đạo hàm ................................................................. 3 
1.2. Các tính chất của đạo hàm ...................................................... 4 
2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM 7 
2.1. Ứng dụng đạo hàm để tính tổng và tìm hệ số của đa thức ....... 7 
2.2. Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn ......................................... 9 
2.3. Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
hàm số ............................................................................................. 11 
2.4. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số ............... 15 
2.5. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số ......................... 17 
2.6. Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá 
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .......................................... 20 
2.7. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số .................................... 26 
2.8. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, 
hệ phương trình ............................................................................... 39 
3. MỘT SỐ ðỀ
 49 
 TỰ LUYỆN 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 3 
1. KHÁI NIỆM ðẠO HÀM 
1.1. ðịnh nghĩa đạo hàm 

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và điểm 0x D.∈ Giả sử tồn tại 
khoảng (a; b) sao cho 0x (a;b) D.∈ ⊂ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 
0
0
x x 0
f (x) f (x )lim A
x x→
−
=
−
 thì số A được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 
và kí hiệu là 0f '(x ) hoặc 0y '(x ), khi đĩ 
0
0
0
x x 0
f (x) f (x )f '(x ) lim .
x x→
−
=
−
 ðạo hàm 
của hàm số tại điểm x0 (nếu cĩ) là một hằng số. Hàm số cĩ đạo hàm tại x0 thì 
liên tục tại x0. 

 Khi giải tốn cần lưu ý 
0 0 0
0 0 0
0
x x x x x x0 0 0
f(x) f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x )f '(x ) A lim A lim lim A.
x x x x x x+ −→ → →
− − −
= ⇔ = ⇔ = =
− − −

 Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng K thì ta nĩi f(x) 
cĩ đạo hàm trên K và hàm số f '(x), x K,∈ được gọi là (hàm) đạo hàm của f(x) 
trên K. ðạo hàm của hàm số (nếu cĩ) trên một khảng (cĩ thể mở rộng trên một 
tập) là một hàm số. 

 ðạo hàm cấp cao (k) (k 1)f (x) (f (x)) '.−= 
VD1. Cho hàm số f(x) cĩ đạo hàm trên ℝ và thoả mãn 
( ) ( ) ( )f 2x 4 cosx .f x – 2x, x .= ∀ ∈ℝ 
Tính f '(0) bằng định nghĩa. 
HD. Từ đề bài nhận thấy ( ) ( )f 0 4.f 0 f(0) 0.= ⇒ = Ta cĩ 
x 0
f(x) f(0)f '(0) lim
x 0→
−
=
−
( ) ( ) ( )
x 0 x 0 x 0
4 cosx .f x – 2x f xf (2x)lim lim lim 2cos x. 1 2f '(0) 1.
2x 2x x→ → →
 
= = = − = − 
 
 Do đĩ 
f '(0) 1.= 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
4 
4 
VD2. Cho hàm số f (x) x(x 1)(x 2)(x 3)...(x 2012)(x 2013).= − + − + − Tính f '(0) . 
HD. Ta cĩ 
x 0 x 0
f (x) f (0)f '(0) lim lim (x 1)(x 2)...(x 2013) (2013!).
x 0→ →
−
= = − + − = −
−
VD3. Tìm hàm số f(x) khả vi trên ℝ và f (x) f (y) f '(x y).(x y), x, y .− = + − ∀ ∈ℝ
HD. Từ đẳng thức đề bài cho y = 0 thu đựợc f (x) f (0) f '(x).x, x ,− = ∀ ∈ℝ hay 
{ }f (x) f (0)f '(x) , x \ 0 .
x
−
= ∀ ∈ℝ Vì f khả vi trên ℝ nên f liên tục trên ℝ , suy ra 
f '(x) liên tục tại mọi x 0.≠ Mặt khác, do f(x) cĩ đạo hàm tại x = 0 nên 
x 0 x 0
f (x) f (0)lim f '(x) lim f '(0)
x→ →
−
= = tức là f '(x) liên tục tại x = 0. Như vậy f '(x) 
liên tục trên ℝ . Vì f cĩ đạo hàm và đạo hàm liên tục trên ℝ nên 
y x y x
f (y) f (x)f '(x) lim lim f '(x y) f '(2x), x .
y x→ →
−
= = + = ∀ ∈
−
ℝ Bằng qui nạp ta suy ra 
nf '(x) f '(2 x), x , n *.= ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ Hay 
n
xf '( ) f '(x), x , n *.
2
= ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ Do f '(x)
liên tục trên ℝ và n
n
1lim ( ) 0
2→+∞
= nên 
n nn n
x xf '(x) lim f '( ) f '( lim )
2 2→+∞ →+∞
= = = 
f '(0) a, x .= = ∀ ∈ℝ Dẫn tới f (x) ax b, x .= + ∀ ∈ℝ Thử lại thấy hàm số 
f (x) ax b, x (a, b= + ∀ ∈ℝ là các hằng số tuỳ ý) là hàm số cần tìm. 
1.2. Các tính chất của đạo hàm (những cơng thức này được giả sử là hai 
vế đều cĩ nghĩa) 
n n 1 n
n n 1
2
2
2
2
x x
a
11) (c ) ' 0; ( x ) ' 1; ( x ) ' n .x ; ( x ) .
n . x
12) (sin x ) ' cos x ; (cos x ) ' sin x ; (tan x ) ' 1 tan x ; 
cos x
1(co t x ) ' 1 co t x .
sin x
13) (a ) ' a . ln a ; (log | x |) ' .
x . ln a
4 ) (u v w ) ' u ' v ' w '; (k .u ) ' k .u '; (
−
−
= = = =
= = − = + =
= − − = −
= =
+ − = + − =
2
uv ) ' u ' v uv '; 
u u ' v uv '( ) ' ; (u ( v ( x ))) ' u '( v ).v '( x ).
v v
= +
−
= =
VD4. Tính đạo hàm 
na)y (ax b) .= + 1b)y .
sin x
= 
nc)y ax b.= + ax bd)y .
cx d
+
=
+
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
5 
5 
HD. a) n 1y ' an(ax b) .−= + 
b) 2 2
(sin x ) ' cos xy .
sin x 2 x sin x
= − = − 
c) ( )n
n n 1
u '
u ' .
n u −
= Do đĩ 
n 1n
ay ' .
n (ax b) −
=
+
d) 2
ad bcy ' .
(cx d)
−
=
+
VD5. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 
x
x
1
a) f (x) 1 . b) g(x) log (2x 1).
x
 
= + = − 
 
HD. a) Ta nhớ lại điều kiện để biểu thức ba cĩ nghĩa: 
- Nếu b *∈ℕ thì ba khi a cĩ nghĩa. 
- Nếu b ,b 0,∈ ≤ℤ thì ba cĩ nghĩa khi a 0.≠ 
- Nếu b \∈ℝ ℤ thì ba cĩ nghĩa khi a 0.> 
Do đĩ để tìm tập xác định của f(x) ta xét các trường hợp sau đây: 
*TH1: 
x *
x *.
x 0
∈
⇔ ∈
≠
ℕ
ℕ 
*TH2: 
x ,x 0
x ,x 2.11 0
x
∈ ≤

⇔ ∈ ≤ −
+ ≠
ℤ
ℤ 
*TH3: 
x \
x \
.1
x 0 x 11 0
x
∈
∈
⇔ 
> ∨ 
ℝ ℤ
ℝ ℤ
Kết hợp lại ta thấy 
x11
x
 
+ 
 
 cĩ nghĩa khi x 0> hoặc x 1< − . Vậy tập xác định 
của hàm số f(x) là tập 1D ( ; 1) (0; ).= −∞ − ∪ +∞ 
Với 1x D∈ thì 
11 0
x
+ > và 1ln f (x) x ln 1 .
x
 
= + 
 
 Lấy đạo hàm hai vế đẳng 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
6 
6 
thức này, ta được 
xf '(x) 1 1 1 1 1ln 1 f '(x) ln 1 . 1 .
f(x) x x 1 x x 1 x
      
= + − ⇒ = + − +      + +      
Chú ý: Ta khơng được áp dụng cơng thức x x(a ) ' a .ln a= và 1(x ) ' .xα αα −= 
để tính f '(x) vì muốn áp dụng hai cơng thức này thì a , α phải là hằng số. ðể 
tính đạo hàm của hàm số cĩ dạng ( )v(x)f (x) u(x)= ta thường lấy logarit hai vế, 
được ln f (x) v(x) ln u(x)= , đến đây lấy đạo hàm hai vế ta cĩ 
f '(x) u '(x) u '(x)
v '(x) ln u(x) v(x). f '(x) f (x). v '(x) ln u(x) v(x). .
f (x) u(x) u(x)
 
= + ⇒ = + 
 
b) ðiều kiện để alog b cĩ nghĩa là a 0,a 1,b 0.> ≠ > Do đĩ xg(x) log (2x 1)= − 
cĩ nghĩa khi 
1
x 0, x 1 x
.22x 1 0
x 1
> ≠ > 
⇔ 
− >  ≠
 Tập xác định: { }1D ; \ 1 .
2
 
= +∞ 
 
Ta cĩ x
ln(2x 1)g(x) log (2x 1)
ln x
−
= − = nên 2
2x ln x (2x 1) ln(2x 1)g '(x) .
x(2x 1)ln x
− − −
=
−
Chú ý: ( )v 2ln u u 'v ln v uv 'ln ulog u ' ' .ln v uvln v
− 
= = 
 
Bài tập. 
1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại 0x 0= 
 −
≠
= 

=
1 cosx nếu x 0
a)f(x) .x
0 nếux 0

≠
= 

=
2 1x sin nếu x 0
b)g(x) .x
0 nếu x 0
2. Tính đạo hàm của hàm số 
=
−
3 x1)y .
1 x
 = + + + 22)y (x 1) 1 x x . = −3)y x.sin(2 x). 
= −
3 54)y sin 4x cos 2x. + −=
− +
1 sinx cosx5)y .
1 sinx cosx
 = −
46)y tan x cot 4x. 
=
27)y 3sin x.cos2x. −=
+
1 x8)y .
1 x
−
=
+
1 sinx9)y .
1 cosx
=
+ − 2
x10)y .
1 2x x
 =
+
2
2 3
2x11)y .
(1 x )
 = −
+ −
1 1 112)y ( ).
2 2 x 4 x
= + + 513)y 1 x x . =14)y cot x. = + − +2 3 415)y (x 1) (x 2) (x 3) . 
2
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 7 
2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM 
2.1. Ứng dụng đạo hàm để tính tổng và tìm hệ số của đa thức 

 Nhờ đạo hàm ta cĩ thể tính được một số tổng (hoặc chứng minh đẳng thức) 
mà các số hạng thường cĩ dạng (k+1)xkak. 

 ðối với đa thức n0 1 nf (x) a a x ... a x= + + + ta dễ thấy 
(k)
k
f (0)
a ,
k!
= trong đĩ 
qui ước đạo hàm cấp 0 của hàm số f(x) là chính hàm số f(x); và 
n
0 1 n 0 1 2 3 na a ... a f (1), a a a a ... ( 1) a f ( 1).+ + + = − + − + + − = − 
VD6. Cho đa thức f(x) = (1 + x – x12)2011+ (1 – x + x11)2012 . 
1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong đa thức. 
2. Tính tổng tất cả các hệ số bậc lẻ trong đa thức. 
3. Tính tổng các hệ số bậc lớn hơn hay bằng 2 trong đa thức. 
HD. 1. Ta cĩ 12 2010 11 11 2011 10f '(x) 2011(1 x x ) .(1 12x ) 2012(1 x x ) .( 1 11x ).= + − − + − + − + 
ðể cho tiện ta kí hiệu n0 1 nf (x) a a x ... a x= + + + (với n = 12×2011 = 24132). Hệ 
số của số hạng chứa x trong đa thức f(x) là 1 f '(0)a 2011 2012 1.1!= = − = − 
2. Do n0 1 n 0 1 2 3 na a ... a f (1) 2, a a a a ... ( 1) a f ( 1) 0+ + + = = − + − + + − = − = nên 
tổng các hệ số bậc lẻ của f(x) là 1 3 24131 f (1) f ( 1)a a ... a 1.2
− −
+ + + = = 
3. Ta cĩ a0 = f(0) = 2, vậy 2 3 n 0 1 n 0 1a a ... a (a a ... a ) a a 2 2 ( 1) 1.+ + + = + + + − − = − − − = 
VD7. Chứng minh 1 2 2 2 n n 2n n nC 2 C ... n C n(n 1)2 , n ,n 2.−+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
HD. Ta cĩ 
n n n
n k k n 1 k k 1 n 1 k k
n n n
k 0 k 1 k 1
(1 x) C x n(1 x) C kx nx(1 x) C kx− − −
= = =
+ = ⇒ + = ⇒ + =∑ ∑ ∑ 
n
n 1 n 2 k 2 k 1
n
k 1
n(1 x) n(n 1)x(1 x) C k x ,− − −
=
⇒ + + − + = ∑ thay x = 1 vào đẳng thức cuối 
cùng này sẽ thu được 1 2 2 2 n n 2n n nC 2 C ... n C n(n 1)2 , n ,n 2.−+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
Nhận xét. Ta cũng cĩ 
2 0 2 1 2 n 2 2 n 1 n 2
n n n nn C (n 1) C ... 2 C 1 C n(n 1)2 , n ,n 2.− − −+ − + + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
Bài tập. 
3. Cho ( ) ( )2011 20122 3 60300 1 6030f (x) 1 – x x 1 x a a x ... a x .= + + + = + + + Tính 
tổng A = 1 2 3 6029 6030a 2a 3a ... 6029a 6030a .− + + + − 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
8 
8 
4. Giả sử n n0 1 n(1 x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ℕ Biết rằng tồn tại số nguyên 
dương k (1 k n)≤ ≤ sao cho k 1 k k 1a a a .
2 9 24
− +
= = 
Tính tổng 2 3 4 n2.1.a 3.2.a 4.3.a ... n.(n 1).a .+ + + + − 
5. a) Chứng minh rằng 1 2 3 nn n n nC 2C 3C ... nC (n!.n), n ,n 2.+ + + + ℕ 
b) Chứng minh rằng 0 1 n 2 n 2 n 1 n 1n n n nnC (n 1)C ... ( 1) C ( 1) C 0, *.− − − −− − + + − + − = ∀∈ℕ 
6. Cho 3 5 2n 10 1 2 ny a x a x a x ... a x ...+= + + + + + thoả mãn 2(1 x )y' xy 1, x ( 1;1).− − = ∀ ∈ − 
Tìm các hệ số 0 1 na ,a ,..., a . 
7. Cho số nguyên dương n ≥ 3 thoả mãn đẳng thức 3 3n nA C 35(n 1)(n 2).+ = − − 
Tính các tổng sau đây 
1 2 n 2 2 2 3 n 2 n 2 n 1
1 n n n 2 n n n 3
0 1 n
4 5 6 n n n
S C 2C ... nC ; S 2 C 3 C ... ( 1) n C ; S 1 2x 3x ... nx ;
S sinx sin2x ... sinnx; S cosx 2cos2x ... ncosnx; S C 2C ... (n 1)C .
−
= + + + = − + + − = + + + +
= + + + = + + + = + + + +
8. Chứng minh rằng n 0 n 1 1 n 1 n 1n n nn2 C (n 1)2 C ... 2C 2n.3 , n *.− − −+ − + + = ∀ ∈ℕ 
9. Tìm n *∈ℕ biết 1 2 2 3 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2.C 3.2 C ... (2n 1)2 C 2005.++ + + +− + − + + = 
10. Cho khai triển n n0 1 n(1 2x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ℕ Biết rằng 
1 2 n
0 2 n
a a a
a ... 4096.
2 2 2
+ + + = Gọi ka là số lớn nhất trong các số 
0 1 n k ia , a , ..., a , (a max{a ,i 0,n}).= = Tính tổng 
n
0 i k
i 1
S a ( i.a ) ka
=
= + −∑ 
(Tức là 0 1 2 3 k 1 k 1 nS a a 2a 3a ... (k 1)a (k 1)a ... na− += + + + + + − + + + + ). 
11. Cho khai triển n n0 1 n(1 2x) a a x ... a x , n *.− = + + + ∈ℕ Biết rằng 0 1 2a a a 71.+ + = 
Tính tổng 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 nS 1 a 2 a 3 a 4 a (5 1)a 6 a ... n a .= + + + + − + + + 
12. Cho 0 1 2n n nC C C 211.+ + = Tính tổng 
2 0 2 1 2 2 2 n
n n n n
1 1 1 1
1 2 3 n 1
1 C 2 C 3 C (n 1) CS ... .
A A A A +
+
= + + + + 
13. Tìm số nguyên dương n thoả mãn 
200
1 2 2 3 n 1 n
n n n n
2 1C 3C 3 C ... 3 C .
3
−
−
+ + + + = 
14. Chứng minh rằng 
0 99 1 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1 1 1100.C .( ) 101.C .( ) ... 199.C .( ) 200.C .( ) 0.
2 2 2 2
− + − + = 
15. Cho 2 2 2 2
2 3 4 n
1 1 1 1 2011
... , n , n 2.
2012A A A A
+ + + + = ∈ ≥ℕ Tính tổng tất cả các hệ số 
bậc lớn hơn 2 của đa thức f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n. 
16. Tính tổng 2 3 4 5 n nn n n n nS C 2C 3C 4C ... ( 1) (n 1)C .= − + − + + − − 
17. Tìm n *∈ℕ so cho 1 3 5 2n 12n 2n 2n 2nC 3C 5C ... (2n 1)C 2560.
−+ + + + − = 
18. Tính tổng 2 3 4 5 nn n n n nS C 2C 3C 4C ... (n 1)C .= + + + + + − 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
9 
9 
2.2. Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn 

 Dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và các tính chất của 
đạo hàm ta cĩ thể tính được một số gới hạn ở dạng vơ định. 

 ðể tính giới hạn 0
0
 cĩ dạng 
0x x
f (x)lim , f (0) 0,
x→
= ta vận dụng trực tiếp định 
nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, thu được 
0x x
f (x)lim f '(0).
x→
= 

 Nếu các hàm f(x) và g(x) cĩ đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 và f(x0) = 
= g(x0) = 0, 0g '(x ) 0≠ thì 0
0 0
0
00
x x 00 0
x x x x 0 0 0
x x0 0
f(x) f(x )f(x) f(x ) lim
x xx x f '(x )f(x)lim lim ,g(x) g(x ) g(x) g(x )g(x) g'(x )lim
x x x x
→
→ →
→
−−
−−
= = =
− −
− −
(dạng vơ định 0).
0
 Các dạng vơ định 0, 0. , - , 1 , 0 ...∞∞ ∞ ∞ ∞
∞
 ta biến đổi về dạng 
0
0
 để áp dụng tính chất trên. 
VD8. Tính giới hạn 
132 3
32 3 x
x 1 x x 0
1 x x 1 x x1)A lim ; 2)B= lim ( 1 x 1 x ); 3)C lim(1 sin x) .
tan(x 1)→ →−∞ →
− + − − +
= + + + = +
−
HD. 1) Xét 32 3f (x) 1 x x 1 x x , g(x) tan(x 1)= − + − − + = − trên một lân cận của 
điểm x0 = 1. Nhận thấy 
2
2
2 3 23
2x 1 3x 1f '(x) , g '(x) 1 tan (x 1),
2 1 x x 3 (1 x x )
− −
= − = + −
− + − +
 f(1) = g(1) = 0, 
1f '(1) , 
6
= − g '(1) 1 0,= ≠ nên 
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
f (x) f (x) 0 f (x) f (1) f (x) f (1)limf (x) f '(1) 1x 1 x 1 x 1 x 1A lim lim lim lim .g(x) g(x) 0 g(x) g(1) g(x) g(1)g(x) g '(1) 6lim
x 1 x 1 x 1 x 1
→
→ → → →
→
− − −
− − − −
= = = = = = = −
− − −
− − − −
32 3 2 33
x x
1 12)B= lim ( 1 x 1 x ) lim x( 1 ( ) 1 ( ) ).
x x→−∞ →−∞
+ + + = − + + + ðặt 1t
x
= thì 
t 0→ khi x .→ −∞ Ta cĩ 
3 3 2
t 0
1 t 1 tB= lim .
t→
+ − +
 Xét 3 3 2f (t) 1 t 1 t , = + − + cĩ 
2
3 2 23
t tf '(t) ,
(1 t ) 1 t
= −
+ +
 f(0) = 0, f '(0) 0,= nên 
3 3 2
t 0 t 0 t 0 t 0
1 t 1 t f (t) f (t) 0 f (t) f (0)B= lim lim lim lim f '(0) 0.
t t t 0 t 0→ → → →
+ − + − −
= = = = =
− −
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
10 
10
3) Ta luơn cĩ thể chọn được một lân cận của điểm x0 = 0 sao cho trên lân cận 
đĩ 1 + sinx > 0. ðặt 
1
x
ln(1 sin x)M (1 sin x) , N ln(M) .
x
+
= + = = Xét hàm 
f (x) ln(1 sin x),= + cĩ cos xf '(x) ,
1 sin x
=
+
f(0) = 0, f '(0) 1.= Như vậy 
x 0 x 0 x 0 x 0
ln(1 sin x) f (x) f (x) f (0)lim N lim lim lim f '(0) 1.
x x x 0→ → → →
+ −
= = = = =
−
 Suy ra 
x 0
1 lim NN 1x
x 0 x 0 x 0
C lim(1 sin x) lim M lim e e e e.→
→ → →
= + = = = = = Vậy 
1
x
x 0
C lim(1 sin x) e.
→
= + = 
Bài tập. 
19. Tính các giới hạn sau đây 
x
x x x x
2
0 0 0 1
e + sin2x cos3x 1 1 2x 3x 4 x 2 x 3 2x1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
ln1 + 4x tan5x 1 cosx sin(1 x)1 2x 1→ → → →
− − + + − − + −
− − −
− +
x
x x
x
x x x
x
n m
1 0
3
1
tanxx a
20 a 0
2
x.2 1 1 ax. 1 bx 1 sin3x5) lim ; 6) lim (a,b 0;m,n *); 7) lim ; 
x 1 x 1 2cosx
cos( cosx)ln(cosx) sinx 28) lim ;9) lim( ) (a k ); 10) lim ; 11) lim (sinx) ; 
sina sin(tanx)x
→ → →
−
→ → → →
− + + −
≠ ∈
− −
≠
ℕ
pi
pi
pi
pi
x x
2 9
x
0
1 1 (x +2005) 1 5x - 200512) lim (cos sin ) ; 13) lim ; 
x x x→±∞ →
−
+
x
3
23 30 x 1
2 sin 2x sin x
3 3x x 0 x 0
n n
m mx a
1 1 x x 214) lim ; 15) lim ;
sin(x 1)3x(1 1 4x ) 2x( (1 6x) 1 6x 1)
x x 2x e e x sin 2011x16) lim ;17) lim ; 18) lim ; 
sin x x sin 2012xx x 3x
x a19) lim (a ;m, n *); 20) lim
x a
→ →−
→+∞ → →
→
  + + 
−
  ++ + + + + + 
− + − −
+
− +
−
∈ ∈
−
ℝ ℕ
n
mx 0
1 ax 1 (b 0);
1 bx 1→
+ −
≠
+ −
→
≠
x 0
sinax21) lim (b 0);
sin bx
→
− − +3
x 0
1 3x 1 2x22) lim .
tanx
→
−
−
2x 0
x sinx23) lim ;
x tanx
→
 
− 
 2 2x 0
1 124) lim ;
sin x x
→x 0
ln x25) lim ;
cot x
→
−
x 0
26) lim (1 cosx)cot x; 
−
→+∞
2 x
x
27) lim x e ; 
→
−
3x 0
sinx x28) lim ;
x
+→x 0
29) lim x lnx; 
→±∞x
130) lim xsin .
x
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
11 
11
2.3. Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
hàm số 

 Nếu hàm số y = f(x) (C) cĩ đạo hàm tại x = x0 thì tiếp tuyến của (C) tại điểm 
M(x0; f(x0)) cĩ phương trình là 0 0 0 0y f '(x )(x x ) f (x ); f '(x )= − + là hệ số gĩc 
của tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0; f(x0)). 

 Nếu tiếp tuyến của (C) y = f(x) cĩ hệ số gĩc k thì hồnh độ tiếp điểm thoả 
mãn PT k f '(x).= 

 ðường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi hệ 
phương trình sau cĩ nghiệm ax b f (x) ,
a f '(x)
+ =

=
 và nghiệm x0 của hệ này chính là 
hồnh độ tiếp điểm. 

 Cho = + = +1 2d : y ax b, d : y kx m. Khi đĩ ⇔ = ≠1 2d / /d a k,b m; cịn 
⊥ ⇔ = −1 2d d a.k 1. 
VD9. Cho = − +3(C) : y x 3x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết 
a) Tiếp điểm cĩ tung độ là nghiệm của phương trình − + + =3y xy' 5x 16 0. 
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng − − =9x y 15 0. 
c) Tiếp tuyến đi qua điểm −2A( ; 1).
3
HD. a) Ta cĩ = −2y' 3x 3. Do đĩ phương trình − + + =3y xy' 11x 16 0 trở thành 
− + − − + + = ⇔ =3 23(x 3x 1) x(3x 3) 5x 16 0 x 19. Nghĩa là tung độ tiếp điểm 
=0y 19. Hồnh độ 0x của tiếp điểm thỏa mãn − + = ⇔ =
3
0 0 0x 3x 1 19 x 3. 
Vậy tiếp điểm là điểm 0M (3;19). Hệ số gĩc của tiếp tuyến = =k y'(3) 24. Tiếp 
tuyến của (C) tại 0M cĩ phương trình = − + ⇔ = −y 24(x 3) 19 y 24x 53. 
b) ðường thẳng − − =9x y 15 0 viết lại thành = −y 9x 15. Gọi = +d : y ax b là 
tiếp tuyến cần tìm thì = ≠ −a 9,b 15. Vì d tiếp xúc với (C) nên hệ phương trình 
3
2
x 3x 1 9x b
3x 3 9

− + = +

− =
 phải cĩ nghiệm . Từ phương trình thứ hai của hệ tìm ra x 
rồi thế lên phương trình đầu của hệ, ta thu được b 15= − hoặc b 17.= ðối 
chiếu với điều kiện của b ta lấy b 17.= Vậy tiếp tuyến cần tìm là d :y 9x 17.= + 
c) ðường thẳng đi qua A, cĩ hệ số gĩc k, cĩ phương trình 2:y k(x ) 1
3
∆ = − −
 là 
tiếp tuyến của (C) khi hệ 
3
2
2x 3x 1 k(x ) 1
3
3x 3 k

− + = − −


− =
 cĩ nghiệm. Tìm ra 
k 3,k 0.= − = Các tiếp tuyến cần tìm là 1 : y 3x 1∆ = − + và 2 : y 1.∆ = − 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
12 
12
VD10. Tìm a, b để hàm số 
2
3 2
x ax b khi x 2
y
x x 8x 10 khi x 2
 + + ≤
= 
− − + >
 cĩ đạo hàm tại 
điểm x0 = 2 và khi đĩ hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 
điểm cĩ hồnh độ x0 = 2. 
HD. ðể hàm số cĩ đạo hàm tại điểm x0 = 2 thì trước hết nĩ phải liên tục tại 
điểm này. Ta phải cĩ 
3 2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
y(2) lim y(x) lim y(x) y(2) lim (x x 8x 10) lim (x ax b)
4 2a b 2 b 2a 6.
+ − + −→ → → →
= = ⇔ = − − + = + +
⇔ + + = − ⇔ = − −
Lúc này ta viết lại 
2
3 2
x ax 2a 6 khi x 2
y .
x x 8x 10 khi x 2
 + − − ≤
=
− − + >
 Hàm số này cĩ đạo hàm tại điểm 
x0 = 2 thì 
3 2
x 2 x 2 x 2
y(x) y(2) y(x) y(2) (x x 8x 10) ( 2)lim lim lim
x 2 x 2 x 2+ − +→ → →
− − − − + − −
= ⇔ =
− − −
2
x 2
(x ax 2a 6) ( 2)lim 0 a 4
x 2−→
+ − − − −
= ⇔ = +
−
 a 4 b 2.⇔ = − ⇒ = Vậy với a = –4, b = 2 thì 
hàm số đã cho cĩ đạo hàm tại điểm x0 = 2 và y '(2) 0.= Khi đĩ tiếp tuyến cần 
tìm là y 0.(x 2) ( 2) y 2.= − + − ⇔ = − 
VD11. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến đi qua 
tâm đường trịn nội tiếp tam giác cĩ ba đỉnh là ba điểm cực trị của (C). 
HD. Dễ thấy (C) cĩ ba điểm cực trị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0). Gọi I là tâm 
đường trịn nội tiếp tam giác OAB thì I(0; m) với –1 < m < 0. Các đường thẳng 
OA, OB, AB lần lượt cĩ phương trình x – y = 0, x + y = 0, y + 1 = 0. Ta cĩ 
d(I, OA) = d(I, OB) = d(I, AB) m m 1 m 2 2 (do 1 m 0).
2
⇔ = + ⇔ = − − < < Vậy 
I(0;2 2).− ðường thẳng đi qua I cĩ hệ số gĩc a cĩ phương trình 
y ax 2 2= + − (d) (tiếp tuyến của đồ thị hàm số là đường thẳng cĩ hệ số gĩc). 
ðường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ phương trình 
4 2
3
x 2x ax 2 2 (1)
4x 4x a (2)

− = + −

− =
 cĩ nghiệm. Thế (2) vào (1) ta được 
4 23x 6x 2 2 0− + − = 
3 3 2
x .
3
±
⇔ = ± Tương ứng ta tìm được 4 giá trị của a là 
4 3 3 2 3 3 3 2
a .
3 3
+ ± +
= ± Do đĩ tìm được 4 tiếp tiếp thoả mãn yêu cầu 
bài tốn 4 3 3 2 3 3 3 2y .x 2 2.
3 3
+ ± +
= ± + − 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
13 
13
Bài tập. 
20. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 
2
x 2x + 4
x 2
−
−
 biết tiếp 
tuyến vuơng gĩc với đường thẳng x – 3y + 2 = 0. 
21. Cho x 2y (C).
2x 3
+
=
+
 a) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ 
độ một tam giác cân. 
b) Viết PTTT của (C) tại các điểm cĩ toạ độ nguyên của (C). 
c) Chứng minh rằng khơng cĩ tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm 3I( ; 2).
2
− − 
17. Tìm m để tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất của (C): y = x3 – 3mx2 + 4m3 là 
một đường thẳng tạo với hai trục toạ độ tam giác cĩ diện tích bằng 25 .
6
18. Viết PTTT của đồ thị (C): 3 21y x x
3
= − 
a) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(3; 0). 
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9x + 12y – 2 = 0. 
19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x3 – 3x2 + 3 (C) và tiếp 
tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(–1;1). 
20. Gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng y = x + m với đồ thị 
x 1y (C)
2x 1
− +
=
−
 và k1, k2 lần lượt là hệ số gĩc của tiếp tuyến của (C) tại A, B. Tìm 
m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. 
21. a) Tìm trên trục Oy những điểm mà từ đĩ kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị 
hàm số y = x4 sao cho 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau. 
b) Tìm trên đường thẳng y = 6 những điểm cĩ thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ 
thị hàm số 3 2y 2x 9x 12x 1= − + + sao cho 2 trong số 3 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc 
với nhau. 
22. Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 
tiếp xúc với trục Ox. 
23. Viết PTTT của đồ thị 3 x 1(C) : y
x 1
−
=
+
 tại giao điểm của (C) với trục tung. 
24. a) Viết PTTT của xy (C)
x 1
=
−
 biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) tới 
tiếp tuyến là lớn nhất. 
b) Viết PTTT của 4x 3y (C)
x 1
−
=
−
 biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. 
c) Chứng minh đồ thị 
2
2
x 3x 1y (C)
x 1
− +
=
+
 cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B. 
Tính cosin của gĩc tạo bởi hai tiếp tuyến của (C) tại A và tại B. 
d) Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên đồ thị 3y x 3x 2(T).= − + Các tiếp 
tuyến của (T) tại A, B, C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ tương ứng 
khác A, B, C. Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng . 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
14 
14
25. Tìm a, b để hàm số 
3
2
x khi x 1
f (x)
ax b khi x 1
 ≤
= 
+ >
 cĩ đạo hàm tại x0 = 1, khi đĩ 
hãy viết PTTT của đồ thị hàm số tại điểm cĩ hồnh độ x0 = 1. 
26. Viết PTTT của 2(P) : y x 2x 3= − + biết 
a) Tiếp điểm cĩ hồnh độ 0x 1.= 
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 =0. 
c) Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất. 
27. Cho 4x 3(C)y
x 1
−
=
−
 và điểm I(1;4). 
a) Chứng minh khơng cĩ tiến tuyến nào của (C) đi qua I. 
b) Chứng minh tiếp tuyến của (C) tại điểm M bất kì luơn cắt hai đường thẳng 
: x 1∆ = và ' : y 4∆ = tại A, B tạo thành một tam giác vuơng cĩ diện tích khơng 
đổi và M là trung điểm của AB. Viết phương trình tiếp tuyến trong trường hợp 
tam giác đĩ cĩ chu vi nhỏ nhất. 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong trường hợp khoảng cách từ I tới 
tiếp tuyến là lớn nhất. 
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại N sao cho tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc 
với IN. 
e) Chứng minh rằng mọi đường thẳng d đi qua I và cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 
P, Q thì các tiếp tuyến của (C) tại P và tại Q song song với nhau. 
f) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đĩ tạo với trục hồnh một gĩc 450. 
28. Cho 2(C)y 1 x x .= − − 
a) Viết PTTT của (C) biết tiếp điểm cĩ tung độ 0
1y .
2
= 
b) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + 2y = 0. 
29. Tìm các giá trị của a sao cho cĩ tiếp tuyến của (C) 
3
2xy 2x 3x 2
3
= − + + cĩ 
hệ số gĩc bằng a. 
30. Tìm m để mọi tiếp tuyến của 3 2 2(C)y x mx mx m= − + − + đều cĩ hệ số 
gĩc âm. 
31. Tìm m để tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất của 3 2(C)y x 3mx m= + + là 
đường thẳng đi qua gốc tọa độ. 
32. Cho 3 2(C)y x x x 1.= + + + 
a) CMR khơng cĩ tiếp tuyến nào của (C) song song với Ox. 
b) Tìm trên (C) hai điểm mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đĩ vuơng gĩc với 
nhau. 
c) Tìm k để trên (C) cĩ ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đĩ 
vuơng gĩc với đường thẳng y = kx. 
d) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 1. 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
15 
15
2.4. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số 

 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và đồng biến (hoặc nghịch 
biến) trên khoảng (a; b) thì hàm số này đồng biến (tương ứng nghịch biến) trên 
đoạn [a; b]. 

 Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên khoảng K và phương trình f '(x) 0= cĩ 
hữu hạn nghiệm trên K thì: + f(x) đồng biến trên K f '(x) 0, x K.⇔ ≥ ∀ ∈ 
 + f(x) nghịch biến trên K f '(x) 0, x K.⇔ ≤ ∀ ∈ 
Lưu ý: nếu thay khoảng K bởi một nửa khoảng hoặc một đoạn thì kết luận trên 
vẫn đúng, nhưng nếu thay K bởi một tập bất kì thì kết luận đĩ khơng đúng nữa. 
VD12. Tìm m để hàm số 3 2 31y x mx x 2m
3
= − + − 
a. ðồng biến trên .ℝ 
b. ðồng biến trên khoảng (0; ).+∞ 
c. Khoảng nghịch biến của hàm số cĩ độ dài lớn hơn 2 3. 
HD. a) Hàm số đồng biến trên 2 2y' x 2mx 1 0 ( x ) ' m 1 0⇔ = − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ = − ≤ℝ ℝ 
1 m 1.⇔ − ≤ ≤ 
b) Hàm số đồng biến trên khoảng 2(0; ) y ' x 2mx 1 0 ( x 0)+∞ ⇔ = − + ≥ ∀ > 
2x 1
m ( x 0)
2x
+
⇔ ≤ ∀ > . Xét hàm số 
2x 1f (x)
2x
+
= với x > 0, cĩ 
2
2
2x 2f '(x) , 
4x
−
= 
f '(x) 0 x 1,= ⇔ = ± với x > 0 thì f '(x) 0 x 1.= ⇔ = Trên khoảng (0; )+∞ dấu của 
f '(x) là dấu của 2x2 – 2. Từ đĩ ta cĩ bảng biến thiên của f(x) như sau 
x 0 1 +∞ 
f '(x) 
 – 0 + 
f(x) 
+∞ +∞ 
 1 
Suy ra 
2x 1
m ( x 0) m 1.
2x
+≤ ∀ > ⇔ ≤ Vậy m 1≤ là các giá trị cần tìm. 
c) ðể hàm số cĩ khoảng nghịch biến thì trước hết y’ phải cĩ hai nghiệm phân 
biệt, tức là ' 0.∆ > Khi đĩ gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ (x1< x2) thì hàm số cĩ 
khoảng nghịch biến là (x1 ; x2). ðộ dài khoảng này (khoảng cách giữa 2 nghiệm 
của một phương trình bậc hai) là 1 2 4 'x x .
a a
∆ ∆
− = = Vậy để khoảng nghịch 
biến của hàm số đã cho cĩ độ dài lớn hơn 2 3 ta cần điều kiện đối với tam 
thức 2y ' x 2mx 1= − + là 
2
2
2
' 0
m 1 0 m 2
m 1 3 .4 ' 2 3 m 22 m 1 2 3a
∆ > 
− > > 
⇔ ⇔ − > ⇔∆  > < − 
− >
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
16 
16
VD13. Chứng minh hàm số 1y
x
= nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nhưng 
trên tập xác định thì nĩ khơng đồng biến và cũng khơng nghịch biến. 
HD. Hàm số cĩ tập xác định { }D \ 0 ( ;0) (0; ).= = −∞ ∪ +∞ℝ ðạo hàm 
2
1y ' 0, x D.
x
= − < ∀ ∈ Vì 2
1y ' 0, x ( ;0)
x
= − < ∀ ∈ −∞ nên hàm số nghịch biến trên 
khoảng ( ;0)−∞ , vì 2
1y ' 0, x (0; )
x
= − < ∀ ∈ +∞ nên hàm số nghịch biến trên 
khoảng (0; ).+∞ Ta chọn x1 = –1 thì y1 = – 1, x2 = 1 thì y2 = 1, ta thấy 
1 2 1 2x x , y y< < nên hàm số khơng nghịch biến trên D. Tương tự nếu chọn giá 
trị x1 = 2 thì y1 = 
1
2
, x2 = 3 thì y2 = 
1
3
, do 1 2 1 2x x , y y nên hàm số khơng 
đồng biến trên D. Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định 
( ;0),−∞ (0; ),+∞ nhưng nĩ khơng đồng biến và cũng khơng nghịch biến trên tập 
xác định { }D \ 0 ( ;0) (0; ).= = −∞ ∪ +∞ℝ 
Bài tập. 
33. Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số 
2
3 2 4 21 3 x x 3x 31)y x x ; 2)y ; 3)y x 2x ; 4)y .
4 2 2 x x 1
+ +
= − = = − + =
− +
34. Tìm m để hàm số: a) 3 21y x mx (m 6)x 1
3
= + + + − đồng biến trên .ℝ 
b) 3 2m 1y x (m 1)x 3(m 2)x
3 3
= − − + − + đồng biến trên nửa khoảng [ )2; .+∞ 
c) 3 2y 3x mx x 2= − − − + nghịch biến trên .ℝ 
d) my 3x
x 1
= +
−
 đồng biến trên từng khoảng xác định 
e) 3 21y x (m 1)x (m 3)x 4
3
= + − + + − đồng biến trên 0;3 .   
35.
Tìm m để
đồ thị hàm số y = x3 + mx + 2 cắt trục Ox tại đúng một điểm. 
36. Lập bảng biến thiên của hàm số 2
2 2 2x 3xa)y x sin x; b)y 4x 1 2x; c)y .
x 1
+
= − = + − =
+
37. Cho 3 2y 4x (m 3)x mx.= + + + 
a) Tùy theo m hay lập bảng biến thiên của hàm số. 
b) Tìm m để tồn tại khoảng cĩ độ dài bằng 1 mà hàm số nghịch biến trên 
khoảng đĩ. 
38. Tìm m để hàm số 
2x mx 5y
3 x
+ −
=
−
a) Nghịch biến trên từng khoảng xác định. 
b) ðồng biến trên khoảng ( 2;2).− 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
17 
17
2.5. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số 

 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), điểm x0 (a;b),∈ và cĩ đạo 
hàm trên các khoảng (a; x0), (x0; b). Ta cĩ: 
 + Nếu 0 0f '(x) 0, x (a; x ); f '(x) 0, (x ;b)> ∀ ∈ < ∀∈ thì f(x) đạt cực đại bằng 
f(x0) tại điểm x = x0. 
 + Nếu 0 0f '(x) 0, x (a; x );f '(x) 0, (x ;b) ∀∈ thì f(x) đạt cực tiểu bằng 
f(x0) tại điểm x = x0. 
Chú ý: 
– Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì 0f '(x ) 0= hoặc 0f '(x ) khơng xác định. 
– Nếu f '(x) khơng đổi dấ