Đề tài Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

TÌM X TRONG ĐẲNG THỨC 
CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
 Khi dạy học môn toán 7 có phần “Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyêt đối”
, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẻ, chưa xét hết các trường hợp xẩy ra . Lí do là chưa nắm vững biểu thức về giá trị tuyệt đối của một số, của một biểu thức, chưa biết vận dụng và chưa nắm được phương pháp giải đối với từng dạng bài tập. Các em chưa phân biệt được các dạng toán và áp dụng tương tự vào bài toán khác . Mặt khác nội dung kiến thức ở lớp 6 & 7 ở dạng này để áp dụng còn hạn chế nên không thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và phong phú được . Mặc dù chương trình sách giáo khoa sắp xếp rất hệ thống và lô gíc, có lợi thế về dạy học đặt vấn đề trong dạng toán tìm x này. Chính vì vậy, để khắc phục cho học sinh những sai lầm khi giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tôi nghĩ cần phải làm như thế nào đó để học sinh có thể vận dụng được tốt định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối, phân chia được các dạng, tìm được phương pháp giải đối với từng bài. Từ đó học sinh tự tin hơn khi gặp dạng toán này.
	Đó là lý do Tôi chọn và trình bày kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ” 
2. Mục tiêu của đề tài:
 Nâng cao kỷ năng giải một số dạng bài toán tìm x có chứa dấu tuyệt đối cho học sinh cũng từ đó phát triển tư duy logic cho học sinh, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn.
 3.Đối tượng nghiên cứu:
 Học sinh khối 7 có học lực khá, giỏi.
4. Phương pháp nghiên cứu:
 - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo và Internet. .
5. Phạm vi nghiên cứu:
 - Các bài toán trong chương trình toán 7
PHẦN II. NỘI DUNG
I/ CƠ SỞ CHỌN ĐỀ TÀI:
1. Cơ sở lý luận:
	Với học sinh lớp 7 thì việc giải bài toán “ Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” gặp rất nhiều khó khăn do học sinh chưa học quy tắc giải phương trình, các phép biến đổi tương đương. Chính vì vậy khi gặp dạng toán này học sinh thường ngại, lúng túng không tìm được hướng giải và khi giải hay mắc sai lầm. Kiến thức toán học lớp 6 & 7 là những cơ sở bước đầu của bậc trung học cơ sở. Nắm vững kiến thức, kỹ năng toán học ở lớp 7 là điều kiện thuận lợi để học tốt ở các lớp trên. 
2. Cơ sở thực tiễn:
Khi dạy học môn toán 7, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi giải bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đa số học sinh khi giải còn thiếu lô gíc ,thiếu chặt chẽ, thiếu trường hợp. Chất lượng môn toán của học sinh còn hạn chế, học sinh giỏi còn ít.
 Với học sinh lớp 7 khi gặp bài toán này các em làm được rất ít, hoặc làm thì thường mắc những sai lầm sau:
 Ví dụ 1 : Tìm x biết 
Học sinh chưa nắm được đẳng thức luôn xảy ra vì (3> 0 )
 mà vẫn xét hai trường hợp x-4 >0 và x -4 < 0 và giải hai trường hợp tương ứng .Cách làm này chưa gọn
 Ví dụ 2 : Tìm x biết : = 1
Nhiều học sinh chưa đưa về dạng cơ bản để giải mà nhanh chóng xét hai trường hợp giống như ví dụ 1
 Ví dụ 3 : Tìm x biết 
 -x = 2 (1) 
 Học sinh đã làm như sau: 
 Nếu x-10 suy ra x-1 -x =2 
 Nếu x-1<0 suy ra 1-x-x=2
 Với cách giải này các em không xét tới điều kiện của x 
 Có em đã thực hiện (1) suy ra =x+ 2 x-1= x+2 hoặc x-1= -x-2
 Trong trường hợp này các em mắc sai lầm ở trường hợp không xét điều kiện của x+2
 Như vậy trong các cách làm trên các em làm chưa kết hợp chặt chẽ điều kiện hoặc làm bài còn chưa ngắn gọn
II/KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT
 Qua khảo sát khi chưa áp dụng đề tài, tôi ra đề cho học sinh lớp 7 trường THCS Hải Thành như sau :
 	Tìm x , biết 
 a, = 3 ( 2điểm)
 b, = 1	( 2 điểm)
 c, - x= 2	 ( 3 điểm)
 d, += 5	 ( 3 điểm)
 Tôi thấy học sinh còn lúng túng về cách giải ,chưa nắm vững phương pháp giải đối với từng dạng bài, chưa kết hợp được kết quả với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh gọn và hợp lí .
Kết quả đạt được như sau :
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu và kém
Kết quả thấp là do học sinh còn vướng mắc những điều tôi đã nói ở trên và phần lớn các em chưa làm được câu c,d .
III/ GIẢI PHÁP: 
III.1/Những kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
 Điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 là các em chưa được học giải phương trình , bất phương trình, các phép biến đổi tương đương , hằng đẳng thức .Nên giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có những phương pháp xây dựng thì chưa thể hướng dẫn được học sinh vì thế các em cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau : 
a, quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế. 
Yêu cầu học sinh nắm vững cách giải bài toán tìm x cơ bản dạng A(x) = B(x)
 b, Tìm x trong đẳng thức: Thực hiện phép tính , chuyển vế dưa về dạng ax = b => x=
2, Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối .
 = , 0
3, Định lí về dấu nhị thức bậc nhất.
III.2/. Các biện pháp tổ chức thực hiện 
 Để giải bài toán tìm x mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối .Tôi đã sử dụng các kiến thức cơ bản như quy tắc, tính chất, định nghĩa về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang dạng khác. Từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải các dạng khác đối với mỗi dạng bài, loại bài . Biện pháp cụ thể như sau: 
 1/.Một số dạng cơ bản 
 1.1 Dạng cơ bản = B với B0
 a, Cách tìm phương pháp giải 
 Đẳng thức có xảy ra không ? Vì sao ? Nếu đẳng thức xảy ra cần áp dụng kiến thức nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau ) 
 b. Phương pháp giải 
 Ta lần lượt xét A(x) = B và A(x) = -B, giải hai trường hợp
 c.Ví dụ
 Ví dụ 1 :( Bài 25 (a) sách giáo khoa trang 16 tập 1)
 Tìm x , biết = 2,3
 GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán : 
 Đẳng thức có xảy ra không ? vì sao?
( Đẳng thức có xảy ra vì 0 và 2,30 )
 Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau ) 
Bài giải
 = 2,3 x-1,7= 2,3; hoặc x-1,7 = -2,3
 + Xét x-1,7= 2,3 x= 2,3 + 1,7 x= 4 
 + Xét x-1,7 = -2,3 x = -2,3 +1,7	x=-0,6
 Vậy x=4 hoặc x=-0,6
 Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra ví dụ khó dần 
 Ví dụ 2 : ( bài 25b SGK trang 16 tập 1)
 Tìm x biết 
 Với bài này tôi đặt câu hỏi ‘Làm sao để đưa về dạng cơ bản đã học ‘
Từ đó học sinh biến đổi đưa về dạng 
 Bài giải
Ta có: 
 x + = hoặc x += - 
 + Xét x + = x = 
 + Xét x += - x =
 Vậy x = hoặc x =
 Ví dụ 3 Tìm x biết 
 3 -17 =16
Làm thế nào để đưa về dạng cơ bản đã học ?
Từ đó học sinh đã biến đổi đưa về dạng cơ bản đã học = 11
 Bài giải
 Ta có: 3 -17 =16
	3 = 33
	 = 11
	 9-2x =11 hoặc 9-2x = -11
 + Xét 9-2x = 11 -2x = 2 x= -1
 + Xét 9-2x = -11 -2x = - 20 x= 10
 Vậy x = -1 hoặc x = 10
 1.2 Dạng cơ bản = B(x) ( Trong đó biểu thức B (x) có chưá biến x)
 a, Cách tìm phương pháp giải
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên , học sinh thấy được đẳng thức không xảy ra khi
 B(x) <0. Vậy cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản đế suy luận tìm ra cách giải bài toán trên không ? Có thể tìm ra mấy cách ?
 b, Phương pháp giải
 Cách 1 : ( Dựa vào tính chất ) 
 = B(x) 
Với điều kiện B(x) 0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) sau đó giải hai trường hợp với điều kiện B(x) 0 
 Cách 2 : Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
 = B(x) 
+Xét A(x) 0 x? Ta có A(x) = B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) 0 ) 
+ Xét A(x) < 0 x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận : x = ?
Lưu ý : Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau ( đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau ( =m 0 dạng đặc biệt của dạng hai) 
 Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa về dạng =B (Nếu B0 đó là dạng đặc biệt,còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra . Nếu B là biểu thức có chứa biến là dạng hai và giải bằng cách 1 ) hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối. 
 c, Ví dụ
 Ví dụ 1 Tìm x biết: = x- 7
 * Cách 1 : 
 Với x-70 x7 ta có 9-3x = x-7 hoặc 9-3x = -( x-7 ) 
 + Nếu 9-3x = x-7 -4x = -16 x = 4 (Thoả mãn) 
 + Nếu 9 - 3x = -( x-7) 9- 3x = -x +7 x= (Thoả mãn) 
Vậy x = hoặc x = 4
* Cách 2 :+ Xét 9-3x 0 x 3 ta có 9-3x= x-7 x= 4(Thoả mãn)
 + Xét 9-3x 3 ta có -(9-3x)= x-7 x= (Thoả mãn)
 Vậy x = hoặc x = 4
Ví dụ 2 Tìm x biết -x = 7 
*Cách 1 : -x = 7
 = x+7 
 Với x+7 0 x-7 ta có x-3 = x+7 hoặc x-3 =-( x+7)
 + Nếu x-3 = x+7 0x = 10 ( loại ) 
 + Nếu x-3 =-( x+7) 	 x-3 = -x-7 2x= -4 x=-2 ( Thoả mãn)
Vậy x = -2 
*Cách 2 : -x = 7
+ Xét x-3 0 x	 3 ta có x-3 -x= 7 0x= 10 ( loại )
+ Xét x-3<0 x< 3 ta có -(x-3) -x = 7 -x+3 -x=7 2x= -4 x=-2 ( Thoả mãn)
Vậy x= -2 
1.3 Dạng + =0
 a, Cách tìm phương pháp giải
 Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm ). Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào? (Cả hai số đều bằng không ). Vậy ở bài này tổng trên bằng không khi nào ? [A(x) =0 và B(x)=0 ] Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) =0 và B(x)=0
 b, Phương pháp giải
 Tìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0
 c, Ví dụ 
 Tìm x , biết 
 1, + =0
 2, + =0
 Bài giải
 1, + =0
 =0 và=0
 + Xét =0 x+2=0 x=-2 (1)
 + Xét =0 x2 +2x=0 x(x+2) =0 x=0 hoặc x+2 =0 x=-2 (2)
 Kết hợp (1)và (2) x=-2 
2, + =0
=0 và =0
 + Xét =0 x2 + x=0 x(x+1) =0 x=0 hoặc x+1 =0 x=-1 (1)
 + Xét =0 ( x+1)(x-2) =0 x+1=0 hoặc x-2 =0 
 x=-1 hoặc x=2 (2) 
 Kết hợp (1) và (2) ta được x= -1
Lưu ý : Ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh phải ghi kết luận giá trị tìm được thì giá trị đó phải thoả mãn hai đẳng thức =0 và =0
 1.4. Dạng = hay- =0
 a, Cách tìm phương pháp giải
 Trước hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy đây là dạng đặc biệt ( vì đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hướng giải .
 Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được đấu giá trị tuyệt đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn. Có hai cách giải: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa) và cách giải dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) =B(x); A(x) =-B(x) (vì ở đây cả hai vế đều không âm do 0 và 0). Để học sinh lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ được 
 b, Phương pháp giải
 *Cách 1 : Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá tị tuyệt đối 
*Cách 2 : Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) =B(x) hoặc A(x) =-B(x)
 c, Ví dụ 
 Ví dụ 1 : Tìm x biết = 
x+3 = 2x-1 hoặc x+3 =-(2x-1) 
 + Xét x+3 = 2x-1 x=4
 + Xét x+3 =-(2x-1) x+3 = -2x +1 x=- 
 Vậy x= hoặc x=4
 Ví dụ 2: Tìm x biết + = 8
Bước 1 : Lập bảng xét dấu : 
 Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức : 
 x-2=0 x=2 và x+4 =0 x=-4
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn .
 Ta có bảng sau:
x
	 -4 2
x-2
-	-	 0 +
X+4
	+	+
 - 0 
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến .Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A=0 mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ -4 x<2)
 Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau : 
 + Nếu x<-4 ta có x-2<0 và x+4 <0
 nên = 2-x và = -x-4
 Đẳng thức trở thành 2-x -x-4 = 8 
 -2x = 10
 x=-5 ( thoả mãn x< -4)
 + Nếu -4 x<2 ta có = 2-x và = x+4
 Đẳng thức trở thành 2-x +x+ 4 = 8 
 0x= 2 (vôlí )
 + Nếu x2 ta có =x-2 và = x+4 
 Đẳng thức trở thành x-2 + x+4 = 8
 2x = 6
 x = 3 (thoả mãn x2 )
 Vậy x=-5 ; x=3
 Lưu ý: Qua hai cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong mỗi cách giải . Ở cách giải 2, thao tác giải sẽ nhanh hơn , dễ dàng xét dấu trong các khoảng giá trị hơn , nhất là các dạng chứa 3 ; 4 dấu giá trị tuyệt đối ( nên ý thức lựa chọn cách giải)
 Ví dụ 3 : Tìm x ,biết 
 (1)
 Nếu giải bằng cách 1 sẽ phải xét nhiều trường hợp xảy ra ,dài và mất nhiều thời gian . Còn giải bằng cách hai (lập bảng xét dấu ).
x
 1 3 6
x-1
 	+	+	+
 - 0
x-3
 	+
 - - 0 +
x-6
 	-	-
 - 0 +
 + Nếu x<1 thì (1) 1-x +3x-9 +30 -5x =8 x=14/3 (loại) 
 + Nếu 1x<3 thì (1) x-1 +3x-9 +30 -5x =8 x=6 (loại)
 + Nếu 3x<6 thì (1) x-1 -3x+9 +30 -5x =8 x=30/7 (thoả mãn )
 + Nếu x6 thì (1) x-1 -3x +9 +5x -30 =8x=10 (thoả mãn )
 Vậy x= 30/7 ; x=10
 Tuy nhiên với cách hai sẽ dể mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng ,nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và tuân theo đúng quy tắc lập bảng . Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết hợp trường hợp trong khi xét các trường hợp xảy ra để thoả mãn biểu thức 0 (tôi đưa ra ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh ).
 Ví dụ 4 : Tìm x biết 
Lập bảng xét dấu
x
 4 9
x-4
 0 + 	 +
 -
x-9
 -	-	+
	0
+ Xét các trường hợp xảy ra , trong đó với x 9 thì đẳng thức trở thành 
 x-4 + x-9 =5 
 x = 9 thoả mãn x 9 , như vậy nếu không kết hợp với x = 9 để x-9 = 0 mà chỉ xét tớí x > 9 để x-9 > 0 thì sẽ bỏ qua mất giá trị x = 9 
 Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán này: dạng lồng dấu ,dạng chứa từ ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
 + Xét 4 x <9 ta có x-4 +9-x = 5 0x = 0 thoả mãn với mọi x sao cho 4 x<9 
 + Xét x < 4 ta có 4-x+9-x = 5 x = 4 (loại)
 Vậy 4x9
 3.phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải
Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh : 
 *Phương pháp giải : tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
	Phương pháp 1 : Nếu =B ( B0) thì suy ra A=B hoặc A=-B không cần xét tới điều kiện của biến x
	Phương pháp 2 :Sử dụng tính chất và 0 để giải dạng 
Và = ,=B(x) 
	Phương pháp 3 : Xét khoảng giá trị của biến ( dựa vào định nghĩa ) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối , thường để giải với dạng =B(x) hay =+C
 *Cách tìm tòi phương pháp giải : 
 Cốt lõi của việc giải bài toán tìm x trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối đó là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối .
+ Trước hết xem bài có rơi vào dạng đặc biệt không ? ( có đưa về dạng đặc biệt được không). Nếu là dạng đặc biệt =B ( B0) hay =thì áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối (giải bằng phương pháp 1 đã nêu ) không cần xét tới điều kiện của biến .
+ Khi đã xác định được dạng cụ thể ta nên suy nghĩ cách nào làm nhanh hơn, gọn hơn thì lựa chọn 
 C KẾT LUẬN
 Khi áp dụng đề tài nghiên cứa này vào giảng dạy cho học sinh lớp tôi dạy .Tôi thấy học sinh làm dạng toán này nhanh gọn hơn.Học sinh không còn lúng trong khi gặp dạng toán này .Cụ thể khi làm phiếu kiểm tra với đề bài như sau:
 Tìm x, biết : 
 a, = 5(3đ) b, 2+8 = 26 (3đ) c, 8 - = x+3 (4đ)
Kết quả nhận được như sau : 
học sinh không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng loại bài
Biết lựa chọn cách giải nhanh , gọn ,hợp lí
Hầu hết đã trình bày lời giải chặt chẽ 
Kết quả cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu và kém
 2.Kiến nghị:Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh giải một dạng toán. Tôi nghĩ, kinh nghiệm thì không thể không tránh khỏi thiếu sót và cần được chia sẻ. Nên tôi mong có sự ủng hộ, đóng góp ý kiến của các trưởng đầu ngành, của đồng nghiệp, để tôi có được nhiều kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy các em học sinh giải toán. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo
 1, Sách giáo khoa toán 7 – NXB giáo dục -2007
 2, Nâng cao và phát trỉên toán 7 - NXB giáo dục 2003 của Vũ Hữu Bình
 3, Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7- NXB giáo dục 2006 của Vũ Hữu Bình
 4 , Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7- NXB giáo dục 2005 của Bùi văn Tuyên