Đề tài Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-Si

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SƠ YẾU LÝ LỊCH
Họ và tên: 	Trần Thị Hồng Minh
Ngày tháng năm sinh:	 13 – 04 – 1985
Năm vào ngành: 	2007
Chức vụ và đơn vị công tác: 	Giáo viên trường THPT Tân Lập
Trình độ chuyên môn: 	Thạc sĩ
Bộ môn giảng dạy:	Toán
Ngoại ngữ: 	Tiếng Anh
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình toán phổ thông, rất thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng và còn là một chuyên đề lớn trong các đề thi học sinh giỏi ở phổ thông.
 Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú. Xét về cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho học sinh.
Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc nhiều vào đặc thù bài toán, do đó học sinh phổ thông thường gặp nhiều khó khăn khi gặp dạng bài này.
Trong chương trình toán THPT, chứng minh bất đẳng thức được giới thiệu trong chương trình đại số lớp 10. Tôi lựa chọn một phương pháp chứng minh bất đẳng thức hay gặp để trình bày trong bài viết này với tên gọi:
“Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp
sử dụng bất đẳng thức Cô-si”
QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
PHẦN 1. KHÁI QUÁT VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP
 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số.
Khái niệm: Cho hai biểu thức đại số f, g có tập xác định lần lượt là . Quan hệ cho ta một bất đẳng thức đại số. Nếu với mọi giá trị của biến trong tập làm cho thì ta có một bất đẳng thức đúng.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số yêu cầu ta chỉ ra tính đúng (hoặc sai) của một bất đẳng thức nào đó. Để tiện về ngôn ngữ, nói chung ta chỉ xét những bất đẳng thức dạng . 
Theo phân loại của Polya thì bài toán bất đẳng thức thuộc dạng bài toán chứng minh toán học (trong hệ thống này, ngoài ra là các bài toán tìm tòi).
Các phương pháp chứng minh.
Để chứng minh bất đẳng thức đại số, các phương pháp phổ biến là:
PP1: Dùng phép biến đổi tương đương.
PP2: Phương pháp phản chứng.
PP3: Dùng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
PP4: Dùng bất đẳng thức tam giác.
PP5: Làm trội.
PP6: Quy nạp
PP7: Dùng BĐT Cauchy.
PP8: Dùng BĐT Bunhiacopski.
PP9: Biến dạng của BĐT Bunhiacopski.
PP10: Dùng BĐT Bunhiacopski mở rộng.
PP11: Dùng BĐT Bernoulli.
PP12: Dùng tam thức bậc hai.
PP13: Phương pháp lượng giác.
PP14: Dùng BĐT Jensen.
PP15: Dùng BĐT Tsebyshev.
PP16: Dùng đạo hàm.
PP17: Phương pháp hình học.
Trong bài viết này, tôi tập trung vào một phương pháp thường gặp đối với học sinh lớp 10. Đó là phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) . Tuy nhiên, phương pháp giải các bài toán dạng này rất đa dạng nên khó có thể phân loại và tổng kết thành một số ít các phương pháp giải chung. Tôi xin đưa ra một cách tiếp cận thông qua một số nhận xét khi biến đổi để chứng minh bất đẳng thức.
PHẦN 2: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
Bất đẳng thức Cô-si.
Bất đẳng thức Cô-si.
Cho n số không âm . Ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Với , ta có: 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Với , ta có: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ.
Ví dụ 1.Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thì:
a. 	b. 
Khi nào xảy ra đẳng thức?
Giải.
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
 (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b).
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
Do đó: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
 (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c).
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
Do đó: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 2. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
 (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
 (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
 (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
Nhân vế với vế, ta được: (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 3. (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối D năm 2005)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Chứng minh tương tự, ta được:
 (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
 (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Một số lưu ý khi biến đổi.
Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cô-si như các ví dụ trên mà thường biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cô-si. Khi biến đổi, ta thường sử dụng những số hạng của một vế cộng thêm các số hạng thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Cô-si mô tả các số hạng trong vế còn lại hoặc trong điều kiện bất đẳng thức. Khi biến đổi, ta nên lưu ý một số nhận xét sau:
Nhận xét 1. Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.
Ví dụ 4. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm. Chẳng hạn, số hạng sẽ ứng với bộ ba số . Cứ như vậy, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Ví dụ 5. Với các số không âm a, b, c, chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 2, nên ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm. 
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Nhận xét 2. Bậc của số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng bậc của số hạng cần mô tả.
Ví dụ 6. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳng thức. Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc của số hạng thêm vào cũng là hai. 
Chẳng hạn, số hạng có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử b. Bậc của số hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
 (1)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
Lại có, (2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Từ (1) và (2) suy ra:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 7. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳng thức. Bậc của số hạng cần mô tả là một, nên bậc của các số hạng thêm vào cũng là một. 
Chẳng hạn, số hạng có chứa mẫu là b, c và bậc của số hạng thêm vào là 1 nên các số hạng thêm vào là b, c:
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Nhận xét 3. Khi bậc không bằng nhau số hạng cộng thêm có thể là hằng số.
Ví dụ 8. Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện , chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Cho thay vào điều kiện ta tính được 
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si với n = 3 cùng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh.
Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số hạng :
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 9. Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện , chứng minh rằng: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được: 
Cho thay vào điều kiện ta tính được 
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si với n = 3 cùng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh.
Chẳng hạn, với số hạng trong điều kiện, ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương , ta có:
Giải. Ta có: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Nhận xét 4. Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy ra với a = b = c của bất đẳng thức để thêm hệ số cho thích hợp.
Ví dụ 10. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Cho thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh, chẳng hạn số hạng ta thu được . Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa nhân tử . Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng và sử dụng bất đẳng thức Cô-si với n = 3:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:	
Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:	
Tương tự, ta có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 11. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích: Cho thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh, chẳng hạn số hạng ta thu được . Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa nhân tử . Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng và sử dụng bất đẳng thức Cô-si với n = 3:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:	
Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:	
Tương tự, ta có:
(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Nhận xét 5. Ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si kết hợp với một số bất đẳng thức phụ.
Ví dụ 12. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Tương tự, ta có:
 (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: )
 (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: )
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Áp dụng bất đẳng thức phụ: 
(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: )
Ta có: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Ví dụ 13. (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A năm 2003)
Cho x, y, z là các số dương và . Chứng minh rằng:
Giải. 
Bất đẳng thức phụ 1: với các số dương a, b, c, d, ta có:
Thật vậy, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: 
 Bất đẳng thức phụ 2 (Ví dụ 1): với các số dương a ,b, c, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
Theo giả thiết: 
Do đó:
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 14. (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A năm 2005)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Giải. Áp dụng bất đẳng phụ với các số dương x, y:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. (Ví dụ 1)
Ta có: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Tương tự, ta có:
 (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: )
 (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: )
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Nhận xét 6. Đặt ẩn phụ trước khi biến đổi giúp ta đưa một số bất đẳng thức về các bất đẳng thức đơn giản.
Ví dụ 15. Với các số dương a, b, c thỏa mãn , chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Đặt , ta thu được: .
Ta có: 
Biến đổi tương tự, ta được: 
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
Áp dụng bất đẳng thức trong ví dụ 1, ta có:
Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 16. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Chia cả hai vế cho , ta được:
Đặt bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
Bất đẳng thức trên đã được chứng minh ở ví dụ 6.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Nhận xét 7. Sử dụng hằng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cô-si.
Ví dụ 17. Với a, b, c dương, chứng minh rằng:
Giải. Đặt 
Ta có:
Mặt khác, ta có:
Chứng minh tương tự, ta được: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 18. Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
Giải. Đặt 
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên dương.
Ta có: 
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:
Áp dụng bất đẳng thức , ta được: 
Nhận xét 7. Khi biến đổi ta điều chỉnh các hệ số sao cho khử được hết các số hạng không có mặt trong bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 19. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 20. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bài tập.
Bài 1. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 2. Với các số dương a, b, c thỏa mãn , chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 3. Với các số dương a, b, c thỏa mãn , chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 4. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 5. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 6. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Hướng dẫn: BĐT cần chứng minh tương đương với
Áp dụng ví dụ 10 ta có điều phải chứng minh.
Bài 7. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Bài 8. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 9. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 10. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Bài 11. Với các số dương a, b, c sao cho , chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 12. Với các số dương a, b, c, d sao cho: 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 13. Với các số dương a, b, c sao cho: 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được:
Bài 14. Với các số dương a, b, c chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Dấu đẳng thức không thể xảy ra nên ta có: 
Bài 15. Với các số dương a, b, c sao cho , chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Bài 16. Với các số dương a, b, c sao cho , chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
Chứng minh tương tự, ta thu được: 
KẾT QUẢ ĐỐI CHỨNG
Kết quả thực hiện.
Trong năm học 2010 – 2011, tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán lớp 10A1. Tôi đã áp dụng chuyên đề bất đẳng thức cho học sinh. Sau khi áp dụng, tôi thấy học sinh bớt cảm thấy ngại và yêu thích các bài bất đẳng thức.
Kết quả khảo sát bài kiểm tra 15 phút như sau: 
Số học sinh
Dưới TB
Trung bình
Khá
Giỏi
47
5 (11%)
10 (22%)
22 (45%)
10 (22%)
Phạm vi áp dụng và bài học rút ra.
Chuyên đề được sử dụng nhằm bồi dưỡng nâng cao cho học sinh lớp 10 và là một trong những chuyên đề khó và hay trong các đề thi Đại học – Cao cũng như trong các đề thi học sinh giỏi.
Đây là một nỗ lực nhỏ của tôi nhằm khắc sâu kiến thức, phát triển tư duy cho học sinh trong giải toán, đặc biệt là trong các bài toán bất đẳng thức.
NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ NGHỊ 
SAU QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Với mục đích khắc sâu kiến thức cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường, tôi rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của nhóm chuyên môn cũng như hội đồng khoa học cơ sở. Điều đó sẽ giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong quá trình giảng dạy sau này. Qua đây, tôi xin cảm ơn một số ý kiến đóng góp của bạn bè, đồng nghiệp đã giúp tôi hoàn thành đề tài một cách đầy đủ hơn.
Tân Lập, ngày 10 tháng 4 năm 2011
Người viết
Trần Thị Hồng Minh
Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI 
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Chủ tịch hội đồng
Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN
	.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Chủ tịch hội đồng