Đề ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 12

ĐỀ ÔN TẬP THI VÀO 10 – Số 12.
Bài 1.
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: .
Bài 2.
 a) Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết cho .
 b) Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện .
Bài 3. Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh:
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:
Tứ giác BQCR nội tiếp.
 và D là trung điểm của QS.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 
Bài 5. Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
HƯỚNG DẪN GIẢI.
BÀI
NỘI DUNG
1
a)
Giải hệ phương trình 
Nhân từng vế các phương trình của hệ trên ta được
+) Nếu , kết hợp với hệ trên ta được
+) Nếu , kết hợp với hệ trên ta được
. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm .
b)
Giải phương trình 
Điều kiện xác định . Khi đó ta có
*) 
*) 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là .
2
a)
Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết cho .
Nhận xét. Nếu là hai số nguyên dương thì .
 Khi đó ta có
(1)
Mặt khác
Do và kết hợp với (1), (2) ta được chia hết cho .
b)
Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 
Nếu đều không chia hết cho 3 thì
 vô lý. Do đó trong hai số phải có một số bằng 3.
+) Nếu . Do đó .
+) Nếu vô lí. Vậy .
3
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh:
Ta có 
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được:
; cộng từng vế hai bất đẳng thức này ta được (1). Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
4
Hình vẽ
D
M
P
Q
R
S
E
F
H
A
B
C
a)
Tứ giác BQCR nội tiếp.
Do nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA, từ đó Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR.
Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ,
Do QR song song với EF nên 
Từ đó suy ra hay tứ giác BQCR nội tiếp.
b)
 và D là trung điểm của QS.
Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên 
Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên 
Từ hai tỷ số trên ta được 
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:
Từ (1) và (2) ta được 
Do QR song song với EF nên theo định lí Thales:.
 Kết hợp với (3) ta được hay D là trung điểm của QS.
c)
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên (4).
Tiếp theo ta chứng minh 
 (đúng theo phần b). Do đó 
Từ (4) và (5) ta được suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
5
Không tồn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ. 
Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.
Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này: 
Gọi là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó
 không là ước của tức là không chia hết cho 8
Nhưng trong 9 số chỉ có ba số lẻ nên 8 số bất kỳ trong 9 số luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn.
Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra