Đề ôn tập hoc sinh giỏi Toán lớp 7

ĐỀ ÔN TẬP HOC SINH GIỎI.
Bài 1. 
Tìm x và y thoả mãn: 
Có tìm được hai chữ số a và b để là bình phương của một số tự nhiên 
 không? Vì sao ?
Bài 2. 
Cho Cho và . Tính M = 
Cho các số a; b; c; d thỏa mãn: b2 = ac và c2 = bd. Chứng minh rằng: 
Bài 3.
Tính: 
Tìm x thoả mãn: 
Bài 4. Cho đa thức f(x) thoả mãn: 
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau.
Bài 5. 	Cho tam giác ABC có < 900 và = 2. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
1- Chứng minh: 
2- So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA.
3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ?
4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2
HƯỚNG DẪN GIẢI
BÀI
NỘI DUNG
1
a)
Nhận xét:
Đẳng thức xảy ra khi 2x – 2011 = 0 và 3y + 2012 = 0
Tìm được x = và y = 
b)
Ta có: 
448 và 449 là hai số tự nhiên liên tiếp nên không là bình phương của một số tự nhiên
2
a)
; (1)
Từ (1) và 
Þ :=: = 1
 Þ : = 1 Þ 
b)
Từ b2 = ac và c2 = bd 
ta có : = (2)
Mà (3)
Từ (2) và (3) có điều cần chứng minh.
3
a)
 = 
b)
 = 
 = x = 12.
4
* Với x = 0 ta có - 2012 . f(0) = 0.f(- 2011) = 0 hay f(0) = 0 , vậy đa thức có 1 nghiệm x = 0
* Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011) 
 Như vậy -1 f(2011) = 2011.f(0) = 0 , nên f(2011) = 0
 Vậy đa thức có 1 nghiệm x = 2011
A
B
C
H
E
D
B’
1
2
1
Từ đây suy ra điều cần chứng minh
5
Hình vẽ
1- Chứng minh: 
Tam giác BEH cân tại B nên 
 Mà . Vậy 
2-.So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA.
Chứng tỏ được DDHC cân tại D nên DC = DH. (1)
 Chứng minh được 
 Suy ra Þ DDAH cân tại D nên DA = DH. (2)
Từ (1) và (2) ta có : DC = DH = DA
3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. 
 Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ?
DABB’ cân tại A nên , mà 
Vậy . Kết luận : Tam giác AB’C cân tại B’ 
4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2
Chứng minh được: Khi tam giác ABC vuông tại A thì 
 Chứng minh được: Tam giác AHD đều nên DA= AH
 Chứng minh được : suy ra : DE = AC
 Do AC2 = BC2 – AB2 từ đó DE2 = BC2 – AB2