Đề minh họa kỳ thi quốc gia 2015 – Môn Toán học

ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN 
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
Câu 1: (2điểm) Cho hàm số 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (D) : y = x – 1 
Câu 2: (1điểm) 
Giải phương trình : .
Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:
Câu 3: (0,5điểm) Giải phương trình 
Câu 4: (1điểm) Giải hệ phương trình : 
Câu 5: (1điểm) Tính các tích phân: 
Câu 6: (1điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.
Câu 7: (1điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là điểm đối xứng của I qua A với . Biết phương trình đường thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tích hình thang ABCD bằng 12. Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương.
Câu 8: (1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0
a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S)
Câu 9: (0,5điểm)Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1 tấm mang số chia hết cho 10.
Câu 10: (1điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz.
Chứng minh rằng : 
------------- HẾT------------
ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN
Câu 1.
(2,0đ)
1. 
Tập xác định: D = \{–1}.
 	Tiệm cận ngang: 
	Tiệm cận đứng: 
0,25
> 0, "xÎD	
Hàm số tăng trên (–¥;–1), (–1;+¥)
Hàm số không có cực trị.
0,25
x
–¥
–1
+¥
y’
+
+
y
2
+¥
–¥
2
0,25
0,25
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) là : 
x2 – 2x = 0 
0,25
x = 0 hay x = 2 suy ra y = -1 hay y = 1
0,5
Vậy tọa độ giao đểm là (0; -1) hay (2; 1)
0,25
Câu 2
(1,0đ)
1. Giải phương trình: 
0,25
0,25
2. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:
Giả sử z = x + yi =>= x– yi. (x, yÎIR)
Theo đề bài ta có : . 
0,25
. 
0,25
Câu 3 
(0,5đ) 
Giải phương trình 
Đặt t = 5x >0. Pt t2–26t + 25 = 0 
0,25
 . 
0,25
Câu 4 (1,0đ)
Giải hệ phương trình : 0 
Điều kiện : ( vì y=0 không thỏa hpt)
(1)
0,25
0,25
Xét A = x2 + (3y – 1 )x + 3y2 – 3y + 1 
= -3(y - 1)2 => 
(3) x = -1 
0,25
Thay x = -1 vào (2) ta có : 
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - 1 ; )
0,25
Câu 5 
(1,0đ) 
Tính các tích phân: 
I =.
Đặt t=sinx => dt=cosxdx 
0,25
▪. 
0,25
= =.
0,25x2
Câu 6(1,0 điểm)
* Tính thể tích khối chóp S.HCD:
Hai tam giác vuông AMD và DAC có nên đồng dạng,
Suy ra , mà 
ADC vuông tại D: 
Hệ thức lượng ADC: DH.AC = DA.DC
Suy ra: 
DHC vuông tại H: 
0,25
Do đó diện tích HCD: 
Thể tích khối chóp SHCD: 
0,25
Tính khoảng cách giữa SD và AC:
Dựng 
Ta có SH (ABCD) nên SH AC và DH AC , do đó AC (SHD)
Mà HE (SHD) nên HE AC
Từ đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC.
nên 
0,25
SHD vuông tại H nên: 
Vậy 
0,25
Câu 7(1,0 điểm)
Ta có : tam giác MDC vuông tại D
=>(MD) : x – y + 5 = 0 
=> D(-2; 3)
0,25
MD = => HD = MD = 2
Gọi AB = a => SABCD = = 12 => a = 2
0,25
=>DC = 4
Gọi C(c; 1 –c ) => DC2 = 2(c + 2 )2 => c = 2 hay c = -6 (loại)=>C(2; -1)
0,25
=>B(3; 2)
=> (BC): 3x – y – 7 = 0
0,25
Câu 8 (1,0 điểm) 
(S): và (P): x + y + z + 2015 = 0
(S) có tâm I(1; -2; 3) và R = 4
0,25
(D) qua I(1; -2; 3) và có VTCP = (1; 1; 1;) có ptts : 
0,25
(Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D ¹ 2015) 
0,25
Vậy (Q) : x + y + z 
0,25
Câu 9: (0,5điểm)
 Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : C1030 cách chọn
Ta phải chọn : 
5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có C155 cách chọn.
1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có : C13 cc
4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có : C412
0.25
Vậy xác suất cần tìm là : P(A) = 
0.25
Câu 10 (1,0 điểm) 
Chứng minh rằng : 	
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz 
Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; ;x2 + y2 ≥ 2xy
0,25
 (1)
0,25
Chứng minh tương tự : 
 (2)
 (3)
0,25
Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
0,25