Đề kiểm tra môn Toán Học - Kỳ thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 Chuyên THPT lần 2 - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ

 TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
NGUYỄN HUỆ 
 KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT 
 LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2016 - 2017 
 Môn thi: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
(dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin) 
Bài I (2,0 điểm). 
1) Cho a, b là các số dương phân biệt thỏa mãn 2 21 1a b b a     . 
Chứng minh rằng 2 2 1.a b  
2) Giải hệ phương trình 
3 3
2 2
.
5
3
x y x y
x y
  

 
Bài II (2,5 điểm). 
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 2 22 2 3 4 0.x y xy y     
2) Cho a, b, c là các số nguyên dương, a  c thỏa mãn 
2 2
2 2
a a b
c c b



. Chứng minh 
rằng a2 + b2 + c2 là hợp số. 
3) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn 7 3.2 1 x y . 
Bài III (1,5 điểm). 
Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn 1x y z   . Chứng minh rằng 
3 3 3
2 2 2
1
1
2
x y z
x yz y xz z xy
   
  
. 
Bài IV (3,0 điểm). 
 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội 
tiếp tam giác ABC. AI cắt đường phân giác ngoài của góc ABC tại J, cắt đường tròn (O) 
tại D. 
1) Chứng minh rằng D là trung điểm của IJ. 
2) Giả sử AB+AC = 2BC. Chứng minh IG //BC với G là trọng tâm tam giác ABC. 
Bài V (1,0 điểm). 
Cho 2016 số nguyên dương 1 2 2016a a a, , ..., thỏa mãn: 2 2 2
1 2 2016
1 1 1
4
a a a
...    . Chứng 
minh rằng trong 2016 số đó tồn tại ít nhất 3 số bằng nhau. 
------------------------- Hết---------------------- 
(Giám thị không giải thích gì thêm) 
Họ và tên thí sinh: .....................................................Số báo danh:............................... 
 Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2: