Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 8 năm học 2015 - 2016 môn: Toán thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

1 
PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
NĂM HỌC 2015-2016 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (2,0 điểm). 
a) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh 3n -n chia hết cho 24. 
b) Tìm số tự nhiên n để 2n +4n +2015 là một số chính phương. 
Câu 2. (1,5 điểm). 
Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc =2016. Tính giá trị biểu thức: 
 P = 
2 2 22016a bc ab c abc
ab+2016a +2016 bc+b+2016 ac+c+1
  
Câu 3. (2,0 điểm). 
a) Giải phương trình: 
 2 2 2 2 2 2(2x +x -2016) +4(x -5x -2015) = 4(2x +x -2016)(x -5x -2015) 
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 
1 1 1
4
x y z
   . Chứng minh rằng: 
1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z
  
   
Câu 4. (3,5 điểm). 
Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của đoạn thẳng AB các 
hình vuông AMCD, BMEF. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AE và BC. Chứng 
minh rằng: 
a) BE//MD và AEBC. 
b) Ba điểm D, H, F thẳng hàng. 
c) Đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn 
thẳng AB cố định. 
Câu 5. (1,0 điểm). 
Cho hai số thực không âm a và b thoả mãn a2 + b2 = a + b. Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức: 
a b
S=
a +1 b+1
 . 
--------------Hết--------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: ..............................................................Số báo danh:....................... 
Giám thị 1 (Họ tên và ký)................................................................................................. 
Giám thị 2 (Họ tên và ký).................................................................................................