Đề kiểm tra học sinh giỏi huyện năm học 2014 - 2015

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015
Bài 1: (4điểm )
Tìm các số tự nhiên có hai chữ số, biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 4 và số dư là 3.
Chứng minh rằng : 36n - 26n M 35 Với " n Î N
T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh: 3x + 4y = 29.
Bài 2: (3điểm ). Giải các phương trình sau với x là ẩn số
x+1 - 4-x=1
Bài3: (3,5điểm) . Cho biểu thức 
a) Rút gọn P.
	b) Tìm x để 
Bài 4: (1,5đ): Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 5: (4đ): Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC) , đường cao AH. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không cứa điểm A vẽ nữa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nữa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F.
Chứng minh AFHE là hình chữ nhật
CM : AB.AE = AC.AF
CM : EF là tiếp tuyến chung của hai nữa đường tròn
Bài 5 (2đ): Cho hình vuông ABCD, M Î đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
	a) BM ^ EF
	b) Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015
Bài 1: (4đ) 
CMR:
85 + 211 chia hết cho 17
1919 + 6919 chia hết cho 44
Tìm nghiệm nguyên dương của pt 
Bài 2 : (3đ) Giải các pt sau:
 (x2 - 4x + 3)(x2 -12x +35) = 20
1x2-2x+2 +1x2-2x+3 = 6x2-2x+4
x2+5x+13 +x2+5x-11 = 1
Bµi3: (2,5đ) Cho biÓu thøc: A = 
 a) T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc A.
 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 1.
c)Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bµi4: (1,5đ) Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.
Bài 5: (4đ) cho (O;AB) dây CD không qua O và vuông góc AB tại H. Dây CD cắt đường tròn đường kính AH tại Evà đường tròn đường kính BH cắt CB tại F.Chứng minh rằng 
CEHF là hình chữ nhật
EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH và đường kính BH
Ta có hệ thức 1EF2= 1CA2+1CB2
Bài 6: (2điểm) .Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Vẽ Ce vuông góc AB, CF vuông góc AD. Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC2
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015
Bài 1: (4đ)
Chứng minh rằng: 10 28 + 8 72.
 Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số .
Tìm nghiệm nguyên dương của pt 14x + 7y = 4xy
Bài 2 : (6đ) 
c) Giải pt x3 + 5x – 6 = 0
Bài 3 : (2,5đ)
Bài 4 : (1,5đ)
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 5 : (4đ). Cho (O) cắt (O’) tại A và B . Kẻ cát tuyến chung CBD ^ AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).)
Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng hàng .
Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K .Chứng minh BA , CK và DI đồng quy .
Bài 6: (2đ)
Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK. EG 
b) 
ĐÁP ÁN 
Bài 6:
Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành và K BC nên
AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
b) Ta có: ; nên
 (đpcm)
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015
Bài 1 : (4đ)
Tìm số nguyên n để: n3 – 2 chia hết cho n – 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2-4x+4 + x2-6x+9
Tìm nghiệm nguyên dương của pt x2-y2+2x-4y-10 = 0 
Bài 2 : (6đ) Giải các phương trình sau:
(x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 
 + = 6	
Bài 3 : (4đ)
Cho biểu thức P=
a) Rút gọn P. 
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 5 : (3,5đ)
 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B . Các đường AO và AO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F .
Chứng minh B , F , C thẳng hàng .
Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .
Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE .
Bài 6 : (2,5đ)
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng
a) MP // AB
b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
ĐÁP ÁN
Bài 6:
Giải
a) FP // AC (1)
 AK // CD (2)
 các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên 
AF = DC, FB = AK (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta có MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)
b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có: = 
Mà (Do FB // DC) IP // DC // AB (5)
Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015
Bài 1: 
Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
2222 + 5555 chia hết cho 7
Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.
Bài 2: Giải phương trình: 
6x4 + 7x3 – 36x2 – 7x + 6 = 0
 (x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = 1
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: 
1. Rút gọn biểu thức P ĐS: a -3a+4
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P : 7/4
Bài 4: Cho đường thẳng y = (m-2)x + 2 (d)
Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1.
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất.
Bài 5:
 ĐỀ THI VÒNG SƠ TUYỂN NĂM HỌC 2014-2015
 	 Môn: Toán lớp 9
 	Thời gian: 150 phút
Bài 1. (2đ) Chứng minh : 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 15
Bài 2. (6đ) Giải phương trình và bất phương trình
a) 
b) + = 8
c) 
Bài 3 : (4đ) Cho biểu thức: P = 
a) Rút gọn P
b) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Bài 4: (2đ) Cho P(x)=mx3 + (m-2)x2- (3n-5)x - 4n. Tìm m và n để P(x) chia hết cho x+1 và x-3
Bài 5: (1.5đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. Xác định vị trí của M trên BC để tổng BE+ CF lớn nhất
Bài 6: (4.5đ) Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ ờ ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung trong EF và tiếp tuyến chung ngoài AB (A,E ; B,F ) 
	a) Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng và đồng dạng.
	b) Chứng minh rằng AE vuông góc với BF.
	c) Gọi N là giao điểm cùa AE và BF. Chứng minh rằng O, N, O’ thẳng hàng
Đáp án 
1
Ta có: 2 + 22 +23 + ... + 260 = (2 + 22 + ... + 24) + (25+ ... +28)+ ... +(257 + 260)
= 2(1+2+4+8) +25(1+2+4+8) + ... + 257(1+2+4 + 8) 
= 15.(2 + 25 + ... + 257)15.
2đ
2a
 (1)
ĐK: 
(1) 	 10 - x + x + 3 + 2 = 25
	 = 6
	 - x2 + 7x + 30 = 36
	 x2 - 7x + 6 = 0
	 (x-1) (x-6) = 0
	 	x1 = 1 (thoả mãn đk)
	x2 = 6 (thoả mãn đk)
Vậy phương trình (7) có 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 = 6.
2đ
2b
Ta có x – 2 = 0 x = 2 và x + 4 = 0 x = -4
Bảng xét dấu 
x
 -4 2
x-2
 -
 - 0 +
x+4
 - 0 +
 +
+ Nếu x <-4 thì (3) 2 - x – x – 4 = 8 -2x = 10 
 x = -5 ( thoả mãn x < - 4 )
 	 + Nếu -4 x < 2 thì (3) 2 – x + x + 4 = 8 
 0x = 2 (vô lí )
 	 + Nếu x2 thì (3) x - 2 + x + 4 = 8 
 2x = 6 x = 3 (thoả mãn x2 )
 	Vậy S= {-5 ; 3}
2đ
2c
 ĐKXĐ : 	Phương trình trở thành : 
ó
 	ó
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Từ đó tìm được x=-13; x=2;
2đ
3a
ĐK: x>0; 
P = 
 = = 
2đ
3b
 P = 
Để P nguyên thì là ước của 2, nên cú thể là 1;-1;2;-2
Vậy với x= thì P có giá trị nguyên.
2đ
4
P(x) x+1 P(-1)=0 hay P(-1)=-m + m – 2 + 3n - 5 - 4n=0
 -n-7=0n=-7 (1)
P(x) x-3 P(3)=0 hay P(3)=27m + (m-2)9 -(3n-5)3-4n =0
 36m – 13n - 3 =0 (2)
Thay (1) vào (2) ta được m=
Vậy n= -7 và m
2đ
5
Ta có BEBM, CFCM (quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên)
BE+CFBM+CM
BE+CFBC
Mà BC không đổi
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E F M
AMBC
Vậy BE+CF lốn nhất là bằng BC khi AMBC
1.5đ
6
a)
 Xét hai tam giác vuông: AOM và BMO’
Có (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Nên AOM BMO’
0.75đ
0.25đ
b) Gọi N là giao điểm của AE và BF, I là giao điểm của OM và AE, K là giao điểm của MO’ và BF
Cm được MOAE tại I
 MO’ BF tại K
 MOMO’ tại M
Nên tứ giác IMKN là hình chữ nhật => AEBF
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
c) Ta có AOM BMO’ (cma)
=> (1)
Cm được OIA MKB ( Góc nhọn)
=> 
Từ (1) và (2) => 
Mà KB=IN (IMKN là hình chữ nhật)
Cm được OIN OMO’ (cgv- cgv)
 => 
Mà 
Vậy O, N, O’ thẳng hàng
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
PHÒNG GD - ĐT TAM BÌNH ĐỀ THI VÒNG SƠ TUYỂN NĂM HỌC 2014- 2015
Trường THCS Mỹ Thạnh Trung Môn: Toán Lớp 9
	 Thời gian: 150 phút
Bài 1: ( 3 điểm )
	Chứng minh rằng biểu thức:
 A = 31 n - 15 n - 24 n + 8 n chia hết cho 112 với mọi số tự nhiên n.
Bài 2: ( 1 điểm ) 
	Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 4x + 5y = 65
Bài 3: ( 3 điểm ) 
	Giải phương trình: 
Bài 4: ( 3 điểm ) 
 Giải phương trình : 
Bài 5: ( 4 điểm ) 
Cho biểu thức:
P = 
a) Tìm các giá trị của x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của P là một số nguyên
Bài 6: ( 1 điểm ) 
Cho góc nhọn A. Chứng minh rằng: 
	Cos 6A + Sin 6A + 3 Sin 2A Cos 2A = 1
Bài 7: ( 5 điểm )
	Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
Tính BC, góc B, góc C .
Phân giác góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD.
Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB, AC. Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF.
ĐÁP ÁN 
Bài 1: A = 31 n - 15 n - 24 n + 8 n 
	 = ( 31 n - 15 n ) – ( 24 n - 8 n ) 
	* ( 31 n - 15 n ) ( 31 - 15 ) ( 31 n - 15 n ) 16 (1) 
	* ( 24 n - 8 n ) ( 24 - 8 ) ( 24 n - 8 n ) 16 (2) 
	Từ ( 1) và (2) A = (31 n - 15 n - 24 n + 8 n ) 16 
: A = 31 n - 15 n - 24 n + 8 n 
	 = ( 31 n - 24 n ) – ( 15 n - 8 n ) 
	* ( 31 n - 24 n ) ( 31 - 24 ) ( 31 n - 24 n ) 7 (1) 
	* ( 15 n - 8 n ) ( 15 - 8 ) ( 15 n - 8 n ) 7 (2) 
	Từ ( 1) và (2) A =( 31 n - 15 n - 24 n + 8 n )7 
A16 , A 7 mà ( 16 ; 7) =1 
 và 16. 7 =112 
 A 112 
Bài 2:	: Ta có: 4x + 5y = 65 4x = 65 - 5y 	 ( 0.25 đ )
 Do x, y nguyên dương nên : 4x 60
	 x 15 (1) ( 0.25 đ )
 Mặt khác : 65 5 ; 5y 5 4x5 x 5 ( 2) 
Từ (1) và (2) x = 5 ; 10 ; 15 ( 0.25 đ )
* x = 5 y = 9
 * x = 10 y = 5
 * x = 15 y = 1
	Vậy: 	( x ; y ) = ( 5 ; 9 ) ( 10 ; 5 ) ( 15 ; 1 ) ( 0.25 đ )
 Bài 3: Điều kiện : x 3 ( 0.5 đ )
 ( 1.75 đ )
 x = - 1 ( nhận ) ( 0.5 đ )
	 Vậy nghiệm của phương trình là  x = -1 ( 0.25 đ) 
Bài 4 : Giải phương trình : 
Giải
 Lập bảng xét dấu (1.5 đ )
x
 -1 1
 -x-1 0 x+1
x+1
 -x+1
 -x+1 0 x-1
+
 -2x
 2
 2x
 Giải các pt theo các khoảng: ( 1.25 đ ) 
x < -1: - 2x = 10 x = -5 ( thoả đk x < -1 )
: 0x = 8 ( Vô nghiệm )
x > 1: 2x =10 x = 5 ( thỏa đk x > 1 )
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 5 và x = -5 ( 0.25 đ )
Bài 5 : Cho biểu thức:
 P = 
	Giải
a) Tìm các giá trị của x để P có nghĩa: ( 0.5 đ)
b) Rút gọn P:
P = 
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của P là một số nguyên
	P = ( 0.25 đ)
	Để P là một số nguyên thì Ư ( 4) ( 0.25 đ)
 Ư (4) = ( 0.25 đ)
 ( nhận )
 ( loại) 
 ( nhận ) 
 ( nhận )
 ( nhận )
 ( vô nghiệm)
 Để P là một số nguyên thì thì x = 16; 25; 1; 49 ( 0.25 đ)
Bài 6: Cho góc nhọn A. Chứng minh rằng: 
	Cos 6 A + Sin 6 A + 3 Sin 2 A Cos 2 A = 1
	Giải
 Ta có: Cos 6A + Sin 6A + 3 Sin 2A Cos 2A
 = (Cos 2A )3+ (Sin 2A)3 + 3 Sin 2A Cos 2A
 = (Cos 2A + Sin 2A) . (Cos 4A - Cos 2A Sin 2A + Sin 4A) + 3 Sin 2A Cos 2A
 = 	 Cos 4A - 2Cos 2A Sin 2A + Sin 4A = (Cos 2A + Sin 2A)2 = 1 
 Vậy: Cos 6 A + Sin 6 A + 3 Sin 2 A Cos 2 A = 1
Bài 7: 	
 a) BC = (cm)
	 TanB = 
b) AD là tia phân giác góc A 
c) Tứ giác AEDF là hình vuông . 
Ta có: AEDF là hình chữ nhật . 
Hình chữ nhật AEDF có đường chéo AD là đường phân giác nên AEDF là hình vuông (0.5 đ ) 
Ta có : DF // AB ( cùng vuông góc AC ) 
Chu vi hình vuông AEDF = DF. 4 = 
Diện tích hình vuông AEDF = DF 2 =