Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2015 – 2016 môn: Toán – lớp 12 thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề)

 SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 – 2016 
 TRƯỜNG THPT MÔN: TOÁN – LỚP 12 
 LƯƠNG NGỌC QUYẾN Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số: 2 11
xy x
  
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x + 1. Viết phương trình tiếp 
tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm đó. 
Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: 3 9log 2log (4 ) 1.x x   
Câu 3 (3,0 điểm). 
 a) Tính môđun của số phức z biết: 4 2 2z i z   . 
 b) Tính tích phân: 
2
0
sin 2I x xdx

  . 
 c) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức: 
4 4 416 16 16
a b cA
b c a
     . 
Câu 4 (1,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Hình chiếu 
vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là điểm I thuộc cạnh AB sao cho BI=2AI và 3 3SI a . 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SC theo a. 
Câu 5 (2,0 điểm). Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
d1: 
4 1 5
3 1 2
x y z     và d2: 
2
3 3 ( )
x t
y t t
z t
      
 
 a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. 
 b) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1, d2. 
---------------------- Hết --------------------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:, Phòng thi:. 
2 
HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ II, NĂM HỌC 2015 - 2016 
 MÔN TOÁN LỚP 12 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Câu 1 
a) 1,5 
b) 1,0 
Cho hàm số: 2 11
xy x
  
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x 
+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đó. 
a) 1,5 a) TXĐ:  \ 1D 0,25 
* Giới hạn và tiệm cận: lim 2
x
y

 => Tiệm cận ngang: y=2 
lim ; lim
11
y y
xx
  
 Tiệm cận đứng x =1 
0,5 
* Chiều biến thiên: 
2
1' 0, 1
( 1)
y x
x
   
hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ;1), (1; )  và không 
có cực trị. 
0,25 
* Bảng biến thiên: 
* Đồ thị cắt trục 
Ox tại điểm 
1
;0
2
    và cắt Oy 
tại điểm (0;1). 
f(x)=(2x-1)/(x-1)
f(x)=2
x(t )=1 , y(t )=t
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
x  1 + 
y’ - - 
y 2 + 
 - 2 
0,25 
0,25 
3 
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 
2 1 1
1
x x
x
   
2 02 1 1
21
xx x
xx
          
Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm M(0;1) và N(2;3) 
0,5 
b) 1,0 
Phương trình tiếp tuyến tại M(0;1): y= - x +1 
Phương trình tiếp tuyến tại N(2;3): y= - x +5 
Vậy: có hai tiếp tuyến cần tìm là y = - x + 1 và y = - x + 5 
0,5 
Câu 2 
1,0 
Giải bất phương trình: 
 3 9log 2log (4 ) 1 (1)x x  
 ĐK: 
0
4
x
x
  
0,25 
Ta có: (1) 3log (4 ) 1x x  
 0,25 
32 4 3 0
1
x
x x
x
       
 0,25 
Vậy: bất phương trình đã cho có tập nghiệm: (0;1) (3;4)T   0,25 
Câu 3 
3,0đ 
a) Tính môđun của số phức z biết: 4 2 2z i z   . 
b) Tính tích phân: 
2
0
( sin 2 )xI e x x dx

  . 
c) Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + 
c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
4 4 416 16 16
a b cA
b c a
     . 
a) Đặt z=x+yi ( ; )x y  z x yi   . 
Ta được: ( 4) 2 2 2x y i x yi     
0,5 
22 2
3
4 2 4
x x x
y y y
          
0,5 
a) 1,5 
2 24 37
3 3
z i z     0,5 
4 
Đặt 1sin 2 cos2
2
du dxu x
dv xdx v x
       
0,25 
22
0 0
1 1os2x os2
2 2
I xc c xdx

    
0,25 
Suy ra I=
2
0
1 sin 2
4 4
x

 
0,25 
b)1,0 
4
I  0,25 
Ta có 4 216 8b b  . Suy ra 
4 4 2
4 4 2(1 ) (1 ) (1 )16 16 16 16 8 16 8
a a b a b a b
b b b
      
Tương tự: 
2
4 (1 )16 16 8
b b c
c
  ; 
2
4 (1 )16 16 8
c c a
a
  
 Suy ra: 2 2 23 1 ( ) (1)
16 128
A ab bc ca    
0,25 
c)0,5 
Không mất tính tổng quát ta giả sử b nằm giữa a và c, khi đó ta 
có: 
( )( ) 0a b a b c   
hay 
2 2 2 2 2ab bc ca ( ) (3 )b a c b b      
 Xét hàm số 2( ) (3 ) ; 0 3f b b b b    ta được 
( ) (1) 4 (2)f b f  
Từ (1) và (2) ta có 5
32
A . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=0; b=1; c=2. 
Vậy: minA= 5
32
. 
0,25 
Câu 4 
1,5 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. 
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy là điểm I thuộc cạnh AB 
sao cho BI=2AI và 3 3SI a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SC theo a. 
5 
a) 
Ta có 29ABCDS a . 
A
B
I
C
D
S
H
K
0,5 
Vậy 3.
1 . . 9 3
3S ABCD ABCD
V S SI a 
(đvtt). 0,5 
b) Ta có / /( ) ( ; ) ( ;( )) ( ;( ))AD SBC d AD SC d AD SBC d A SBC   
Trong mp(SAB) kẻ ( ) ( ; )AK SB AK SBC d AD SC AK     
Ta có 2 2 2 227 4 31SB SI IB a a a     
Từ SB.AK=AB.SI . 9 93 9 93( ; )
31 31
AB SI a aAK d AD SC
SB
    
 Học sinh có thể giải bằng cách tọa độ hóa bài toán. 
0,25 
0,25 
Câu 5 
2,0 đ 
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
d1: 
4 1 5
3 1 2
x y z     và d2: 
2
3 3 ( )
x t
y t t
z t
      
 
a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 
b) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với 
cả hai đường thẳng d1 và d2. 
a) d1 đi qua điểm M(4;1;-5) và có véc tơ chỉ phương 
(3; 1; 2)u  

d2 đi qua điểm N(2;-3;0) và có véc tơ chỉ phương (1;3;1)v

0,5 
[ , ] (5; 5;10)u v  
 
, ( 2; 4;5)MN   

0,5 
a) 
1,5 
[ , ]. 80 0u v MN  
  
Do đó d1 và d2 chéo nhau. 
0,5 
6 
b) Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng 
d1, d2 là mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường 
thẳng đó làm đường kính. 
Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 với 
1A d (4 3 ;1 ; 5 2 )A t t t     và 2B d  (2 ; 3 3 ; )B s s s   
( 2 3 ; 4 3 ;5 2 )AB t s t s t s         

0,25 
b) 0,5 
mà 1
2
. 0
. 0
AB d AB u
AB d AB v
         
 
 
7 6 1 (1;2; 3)
2 11 9 1 (3;0;1)
t s t A
t s s B
               
Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là: 
2 2 2( 2) ( 1) ( 1) 6x y z      
0,25 
(Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm)