Đề kiểm tra giữa học kỳ 2 môn Toán 9 - Năm học 2021-2022

UBND HUYỆN . 
PHềNG GD&ĐT . 
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 
Năm học: 2021-2022 
MễN: TOÁN 9 
(Thời gian làm bài: 90 phỳt, khụng kể thời gian giao đề) 
(Đề thi gồm 5 cõu, 01 trang) 
Cõu 1. (2,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: 
 a) 2x 4 0  b) 22x 6x 0  c) x y 32x y 0   
Cõu 2. (2,0 điểm) Cho phương trỡnh:    2x 2 m 1 x 2m 5 0 1     (m là tham số) 
 a) Giải phương trỡnh  1 với m 2 
 b) Chứng minh rằng phương trỡnh  1 luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m 
 c) Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh  1 cú hai nghiệm 1 2x ; x và 2 21 2A x x  đạt 
GTNN. Tỡm GTNN đú. 
Cõu 3. (1.5 điểm) Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập hệ phương trỡnh 
 Lớp 9A tại một trường THCS cú 35 học sinh tham gia test nhanh Covid-19 gồm hai 
hỡnh thức test mẫu gộp và test mẫu đơn. Biết rằng chi phớ để test mẫu gộp là 40.000đ/1học 
sinh, mẫu đơn là 100.000đ/1học sinh và tổng số tiền lớp 9A phải nộp là 2.720.000đ. Tớnh số 
học sinh tham gia test theo mỗi mẫu. 
Cõu 4. (4,0 điểm) 
 1. (3,0 điểm) Cho đường trũn  O và một điểm A nằm ngoài đường trũn  O . Qua 
điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến  O (B, C là tiếp điểm) và cỏt tuyến AMN khụng đi 
qua tõm O (M nằm giữa A và N). Chứng minh rằng: 
 a) Tứ giỏc ABOC nội tiếp được 
 b) AB.BM AM.NB 
 c) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh  AMH AON 
 2. (1,0 điểm) Hoa văn trờn một tấm bỡa hỡnh trũn bỏn 
kớnh 5cm là phần giới hạn bởi đường trũn và mỗi cạnh của hỡnh 
vuụng nội tiếp đường trũn đú (phần tụ đậm như hỡnh vẽ). Hóy 
tớnh diện tớch phần tụ đậm đú. (Lấy 3,14  và kết quả làm trũn 
đến chữ số thập phõn thứ nhất) 
Cõu 5. (0,5 điểm) 
 Cho 3 số x, y, z 0 , thỏa món 3 xy 2 xz 2  . Tỡm GTNN của biểu thức: 
5yz 7zx 8xyP
x y z
   
------ Hết ------ 
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh: ................................................ Số bỏo danh: .................................. 
1 
UBND HUYỆN . 
PHềNG GD&ĐT . 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 
Năm học: 2021-2022 
MễN: TOÁN 9 
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) 
I. Hướng dẫn chung: 
1. Bài làm của học sinh đỳng đến đõu cho điểm đến đú. 
2. Học sinh cú thể sử dụng kết quả cõu trước làm cõu sau. 
3. Đối với bài hỡnh, nếu vẽ sai hỡnh hoặc khụng vẽ hỡnh thỡ khụng cho điểm. 
4. Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn mà đỳng thỡ vẫn cho điểm 
đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất. 
II. Hướng dẫn chi tiết: 
Cõu Đỏp ỏn Điểm 
1 
(2,0 điểm) 
a) (0,5 điểm). 2x 4 0  
2x 4   0,25 
x 2   
Vậy phương trỡnh cú tập nghiệm  S 2  0,25 
b) (0,75 điểm). 22x 6x 0  
 2x. x 3 0   0,25 
2x 0 x 0
x 3 0 x 3
        
 0,25 
Vậy phương trỡnh cú tập nghiệm  S 0; 3  0,25 
c) (0,75 điểm). x y 32x y 0   
 3x 3 x 12x y 0 y 2     0,5 
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất    x; y 1;2 0,25 
2 
(2,0 điểm) 
Cho phương trỡnh:  2x 2 m 1 x 2m 5 0      1 (m là tham số) 
a) (0,75 điểm). Giải phương trỡnh  1 với m 2 
Thay m 2 vào pt, ta được: 2x 2x 1 0   
Cú    2' 1 1. 1 2 0       0,25 
 1x 1 2 1 2       ;  2x 1 2 1 2      0,25 
Vậy với m 2 thỡ pt đó cho cú 2 nghiệm: 1 2x 1 2; x 1 2    0,25 
b) (0,75 điểm). Chứng minh rằng phương trỡnh  1 luụn cú hai 
nghiệm phõn biệt với mọi m 
 2x 2 m 1 x 2m 5 0     
Cú    2' m 1 1. 2m 5        
0,25 
 2m 2 2 2 0 m      0,25 
2 
Cõu Đỏp ỏn Điểm 
Vậy phương trỡnh trờn luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m 0,25 
c) (0,5 điểm). Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh  1 cú hai 
nghiệm 1 2x ; x và 
2 2
1 2A x x  đạt GTNN. Tỡm GTNN đú. 
Theo cõu b, pt luụn cú hai nghiệm 1 2x ; x với m . 
Theo Vi-et:   1 2
1 2
x x 2 m 1
x .x 2m 5
  
  
 22 21 2 1 2 1 2A x x x x 2x x     
    
2
2 m 1 2 2m 5      
  
224m 12m 14 2m 3 5 5 m        
0,25 
Dấu “ ” xảy ra 3m
2
  
Vậy với 3m
2
 thỡ 2 21 2A x x  đạt GTNN là: A 5 
0,25 
3 
(1,5 điểm) 
Giải bài toỏn bằng cỏch lập hệ phương trỡnh 
Gọi số HS tham gia test theo mẫu gộp là:  *x HS; x N ; x 35  
 số HS tham gia test theo mẫu đơn là:  *y HS; y N ; y 35  0,25 
Lập được mỗi phương trỡnh 
0,25 
 0,25x2 
Lập được hệ phương trỡnh: x y 354x 10y 272   0,25 
Giải được hpt, tỡm được   x 13 t / my 22 0,25 
Vậy số HS tham gia test theo mẫu gộp là: 13 HS 
 số HS tham gia test theo mẫu đơn là: 22 HS 0,25 
4 
(4,0 điểm) 
1. (3,0 điểm) 
- Vẽ được hỡnh để làm được ý a) 
0,25 
a) (1,0 điểm) Chứng minh: Tứ giỏc ABOC nội tiếp được 
Theo t/c của tiếp tuyến AB OB; AC OC   
  0ABO ACO 90   0,25 
3 
Cõu Đỏp ỏn Điểm 
  0ABO ACO 180   0,25 
Mà ABO và ACO ở vị trớ đối diện 0,25 
 Tứ giỏc ABOC nội tiếp được (Dhnb) 0,25 
b) (1,0 điểm) Chứng minh: AB.BM AM.NB 
Xột ABM và ANB , cú: 
 BAM chung 
     1ABM ANB sủBM
2
 ABM ANB g.g ∽ 0,5 
AM BM
AB NB
  AB.BM AM.NB  (đpcm) 0,5 
c) (0,75 điểm) Chứng minh:  AMH AON 
Từ ABM ANB ∽ 2AB AM AB AM.AN
AN AB
    
Chỉ ra được 2AB AH.AO 0,25 
AH AMAH.AO AM.AN
AN AO
    
 AMH AON c.g.c ∽ 0,25 
 AMH AON  (đpcm) 0,25 
2. (1,0 điểm) 
Tớnh được diện tớch hỡnh trũn: 2 2 21S .R 3,14.5 78,5cm    0,25 
Tớnh được độ dài cạnh hỡnh vuụng: AB 5 2 cm 0,25 
Tớnh được diện tớch hỡnh vuụng:  2 22S 5 2 50 cm  0,25 
Tớnh được diện tớch phần giới hạn theo yờu cầu: 
2
1 2S S S 78,5 50 28,5 cm     
0,25 
5 
(0,5 điểm) 
Cho 3 số x, y, z 0 , thỏa món 3 xy 2 xz 2  . Tỡm GTNN của 
biểu thức: 5yz 7zx 8xyP
x y z
   
Cú:    32 3 xy 2 xz x y x z 5x 3y 2z 4
2
          
4 
Cõu Đỏp ỏn Điểm 
yz zx zx xy xy yz2z; 2x; 2y
x y y z z x
      
yz zx 5 zx xy 3 xy yz 2z 5x 3y
x y 2 y z 2 z x
                  
     
5yz 7zx 4xy 4
2x 2y z
    
5yz 7zx 4xyP 2 8
2x 2y z
      
 
Dấu “” xảy ra 2x y z x y z3 xy 2 xz 2 5
        
Vậy GTNN của P là: 2P 8 x y z
5
     
0,5