Đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi môn: Toán – lớp 12. Năm học 2015 - 2016 thời gian làm bài: 180 phút

SỞ GD&ĐT THANH HÓA 
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 
MÔN: TOÁN – LỚP 12. NĂM HỌC 2015-2016 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu I. (4 điểm) 
 Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



 có đồ thị là (C). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Tìm trên đồ thị (C) các điểm ,A B sao cho đường thẳng AB đi qua điểm (1;1)M và trọng 
tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng : 2 9 12 0d x y   , biết điểm A có hoành độ 
nguyên. 
Câu II. (4 điểm). 
1. Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng  0; : 2cos 2 .(2cos 1) 1x x   . 
2. Giải hệ phương trình: 
   
2 2 2 2
2 4 3 3
( )( 2) 6ln 2 2 6 ln 2
27 10 2 6 2
x y x xy y x x y y
x y x y y x
              
     
Câu III. (4 điểm). 
1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1ab  ;   3c a b c   . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
6ln( 2 )
1 1
b c a c
P a b c
a b
 
    
 
. 
2. Giải bất phương trình: 2 32 ( 1)x x x x    . 
Câu IV. (4 điểm). 
1. Gọi X là tập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ X, tính 
xác suất để số được chọn có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó không đứng cạnh 
nhau. 
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại (0;4)A , điểm (3;0)I là trung 
điểm cạnh BC. Điểm (6;0)D thuộc đoạn IC . Tìm tọa độ các điểm ,E F lần lượt là tâm 
đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD . 
Câu V. (4 điểm). 
1. Cho hình hộp đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình thoi với 3AB a và · 0120BAD  . 
Biết rằng góc giữa đường thẳng 'AC và mặt phẳng ( ')ADA bằng 030 . Tính theo a thể 
tích khối hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D và khoảng cách từ trung điểm N của 'BB đến mặt phẳng 
( ')AMC , với M là trung điểm của ' 'A D . 
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm 
( 1;2;3)A  , (1;2;1);B biết tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng ( ) : 2 2 0P x y z    và có 
bán kính nhỏ nhất. 
Chú ý: - Học sinh không được dùng tài liệu và Máy tính cầm tay. 
HẾT 
I.2. Có các điểm: 
1 4
( 2;3), ( ; )
2 3
A B 
II.1. Có 3 nghiệm: 
3 5
, , 
7 7 7
x x x
  
   . 
II.2. 
   
   
   
2 2 2
3 3
2
3 3 2 2
3 2 3 2
2 2
(1) 2 2 6ln 6 ln 2
2
2 2 6ln 2 6ln 2
2 6ln 2 2 6 ln 2
y y x x
PT x y x y
x x
x y x y y y x x
x x x x y y y y
   
     
 
         
         
Xét hàm số:  3 2( ) 2 6 ln 2f t t t t t     với t ¡ . 
Có 2 2
2 2
6 2 2
'( ) 3 2 3
32 2
f t t t
t t
 
      
  
 . 
Xét hàm số: 
2 2
( )
32
g u u
u
  

 với 0u  . 
Có: 
 3 3
1 1
'( ) 1 1 0
22
g u
u
     

g(u) là hàm đồng biến trên  0; 
2
( ) (0) 2 0 '( ) 3 ( ) 0
3
g u g f t g u         hàm số f(t) đồng biến trên R. 
Suy ra: ( ) ( )f x f y x y   . 
Thay vào PT(2) ta được PT: 
36 3 2 3
33 2 3 3
33 3 3
3 3
2
27 4 2 3 4 2
3 4 2 4 2 4 2
( 1) ( 1) 4 2 4 2
1 4 2
1 13 1 13
3 1 0
6 6
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x y
      
         
         
    
 
       
III.1. 
 
2 1 2 1
2 6ln( 2 )
1 1
1 1
2 1 6ln( 2 )
1 1
a b c a b c
P a b c
a b
a b c a b c
a b
     
     
 
           
Ta chứng minh được các BĐT quen thuộc sau: 
1 1 2
)
1 1 1a b ab
  
  
(1), 
1
) (2)
2
ab
ab

  
Thật vậy, 
       1 1 2) 2 1 2 1 1
1 1 1
a b ab a b
a b ab
         
  
   2 1 0a b ab    luôn đúng vì 1ab  . Dầu “=” khi a b hoặc 1ab  . 
 21) 1 0
2
ab
ab ab

     . Dấu “=” khi 1ab  . 
Do đó: 
1 1 2 2 4
11 1 31 1
2
aba b abab
   
   
    22
4 4 16
2ab bc ca c a c b c a b c
  
      
Đặt 2 , 0t a b c t    ta có: 
 
    
2
2
3 3 3
16 1
2 ( ) 6ln , 0;
16 2 4 6 86 6 16 32
'( )
t
P f t t t
t
t t tt t
f t
t t t t

    
   
   
BBT 
t 0 4  
f’(t) - 0 + 
f(t) 
5+6ln4 
Vậy min 3 6ln 4P   khi 1a b c   . 
III.2. 
5 1
2
x

 
IV.1. 
88
( )
567
P A  
IV.2.  12; ; 7;8
2
E F
 
 
 
V.1. 
39 2 6
; 
2 2
a a
V d  
V.2. + Mặt phẳng ( )Q là mp trung trực của AB có phương trình 2 0.x z   
+ Gọi I là tâm và R là bán kính mặt cầu cần tìm. 
+ Có ( ) ( )I P Q  nên tọa độ điểm I thỏa mãn hệ 
2 2 0
2 0 2
x y z x y
x z z x
     
 
     
Chọn ( ; ; 2)I t t t  
+ Ta có 
2
min
2 14 42 42 2 2 2 8
3 ; ;
3 3 3 3 3 3 3 3
R IA t R t I                
   
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 
2 2 2
2 2 8 14
3 3 3 3
x y z
               
     
 .