SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 1 1 2 x y x (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). b) Chứng minh đường thẳng : 0d x y m luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi m. Tìm m sao cho AB OA OB , với O là gốc tọa độ. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 22sin cos sin cos 2 cos 2 2 cos 2 4 x x x x x x . Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2 10 - - 2 30 - - 2 - - 1 x xy y x xy xy x y ( x, y R ) Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: 22 1 1x m x . Câu 5 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, AB = AA’= a. Góc tạo bởi đường thẳng BC’ với mặt phẳng (ABB’A’) bằng 060 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’ và BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và NP theo a. Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 24 3 P = - . 13a + 12 ab + 16 a + b + cbc II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H(3; -2), trung điểm của đoạn AB là 1 M ;0 2 và phương trình cạnh BC là: x – 3y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 8.a (1,0 điểm). Một hộp chứa 11 bi được đánh số từ 1 đến 11. Chọn 6 bi một cách ngẫu nhiên rồi cộng các số trên 6 bi được rút ra với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là số lẻ. Câu 9.a (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 4 2 24 4 .2 1x xx . B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm 1;0H , tâm đường tròn ngoại tiếp 3 3 ; 2 2 I và chân đường cao kẻ từ đỉnh A là 0;2K . Tìm tọa độ A, B, C. Câu 8.b (1,0 điểm). Cho khai triển: 210 2 2 14 0 1 2 141 2 3 4 4x x x a a x a x ... a x . Tìm giá trị của 6a . Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giới hạn: 2 20 1 cos 2 lim x x x I x . -----------Hết----------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh:. www.VNMATH.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN; Khối B HƯỚNG DẪN CHẤM I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 1 2 x y x , (1) 1,0 + Tập xác định: 1 \ 2 D R Giới hạn và tiệm cận : 1 1 1 1 lim ; lim 1 2 2 1 2 2x x x x x x đường thẳng 1 2 y là tiệm cận ngang. 1 1 2 2 1 1 lim ; lim 1 2 1 2x x x x x x đường thẳng 1 2 x là tiệm cận đứng 0.25 + sự biến thiên: 2 1 ' 0, 1 2 y x D x Hàm số nghịch biến trên 1 1 ; ; ; 2 2 . Hàm số không có cực trị. 0.25 +Bảng biến thiên X - 1 2 + y’ - - Y 1 2 +∞ - 1 2 0.25 + đồ thị : f(x)=(x-1)/(1-2x) f(x)=-1/2 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y 0.25 (Đáp án có 6 trang) www.VNMATH.com Nhận xét : Đồ thị nhận điểm 1 1 I ( ; ) 2 2 làm tâm đối xứng. b Chứng minh đường thẳng (d): x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi m. Tìm m sao cho AB OA OB với O là gốc tọa độ. 1.0 Phương trình hoành độ giao điểm : 2 1 ( ) 2 2 1 0(*) 1 2 x x m f x x mx m x 0.25 Có 2 1 1 ' 2 2 0, , ( ) 0 2 2 m m m f , nên (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2 suy ra ( )d luôn cắt (1) tại 2 điểm phân biệt ,A B với mọi m . 0.25 Ta có 1 1 2 2; , ;A x x m B x x m với 1 2,x x là 2 nghiệm của (*) . Theo vi-et 1 2 1 2 1 2 x x m m x x Gọi M là trung điểm của AB 2AB OA OB AB OM tam giác OAB vuông tại O 0.25 1 2 1 2 2 1 2 1 2 . 0 ( )( ) 0 2 ( ) 0 1 0 1 OA OB x x x m x m x x m x x m m m Kết luận : 1m . 0.25 2 Giải phương trình: 22sin cos sin cos 2 cos 2 2 cos 2 4 x x x x x x 1.0 sin 1 cos sin cos2 cos2 sin cosPT x x x x x x x 0.25 cos 2 sin 1 cos sin 1 0 sin 1 cos2 cos 0x x x x x x x 0.25 + sin 1 2 2 x x k k Z 0.25 + 2 2 2 cos 2 cos cos ( )3 3 2 2 2 x x k x k x x x k x x k x k Vậy phương trình có nghiệm 2 2 x k k và 2 3 3 x k k 0.25 3 Giải hệ phương trình: 2 2 10x - xy - y = 2 30x - xy - 2xy - x - y = 1 ( x, y R ) 1,0 Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của hệ. Hệ 2 2 22 2 2 1 1 10 ( 1) ( 1) 11 1 12 1 1 ( 1) ( 1) 3030 y y y y x x x x y y y y y x xx x x x x 0.25 Đặt 1 1 a x b y khi đó hệ trở thành 11 ( ) 30 a ab b ab a b 6 5 5 6 a b ab a b ab 0.25 www.VNMATH.com TH1. 1; 4 6 1; 5 1 5 5; 1 ; 0 5 x y a b a b ab a b x y 0.25 TH2. 5 6 a b ab 1 ; 2 2; 3 2 13; 2 ; 1 3 x y a b a b x y Vậy hệ có 4 nghiệm: 1 1 1 (1;4);( ;0);( ;2);( ;1) 5 2 3 . 0.25 4 Tìm tất cả các giá trị thực m để phương trình sau có nghiệm thực 22 1 1x m x 1,0 Ta có : 2 2 1 1 x PT m x 0.25 Xét hàm số 2 2 1 1 x f x x trên R. Có / / 32 2 0 2 1 x f x f x x x . 0.25 x 2 /f x + 0 - f x 5 -2 2 0.25 Từ BBT suy ra: Phương trình có nghiệm 2; 5m 0.25 5 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, AB = AA’= a. Góc tạo bởi đường thẳng BC’ với mặt phẳng (ABB’A’) bằng 060 .Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’ và BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và NP theo a. 1,0 C'A' B' H K A B C N P M I Q Gọi H là trung điểm A’B’. Ta có C 'H A 'B';C'H BB' C'H ABB'A ' 0BC'; ABB'A ' C 'BH 60 2 2 a 5BH BB' B'H 2 Tam giác HBC’ vuông tại H nên ta có 0 5 15C 'H BH.tan 60 a . 3 a 2 2 0.25 Diện tích tam giác A’B’C’ là 2 A'B'C' 1 a 15 S C'H.A 'B' 2 4 3 ABCA'B'C' A 'B'C' 15 V BB'.S a 4 (đvtt) 0.25 www.VNMATH.com Gọi Q là trung điểm B’C’ NP / /MQ NP / / AMQ Gọi I là giao điểm MQ và BC. Khi đó B là trung điểm của PI Ta có : d NP; AM d NP; AMQ d P; AMQ , d P; AMQ PI 2 BId B; AMQ . Gọi K là trung điểm HB’thì 1 KQ / / C'H 2 2 AMB' ABB' 1 a S S 2 4 3 B'AMQ AMB' 1 a 15 V QK.S 3 48 0.25 Mặt khác ABB’A’ là hình vuông nên AM BH mà AM C'H AM BHC ' AM BC' AM MQ . Ta có: 2 2 2 2 5 a 5 B'C' C'H HB' 2a MQ MB' B'Q a ;AM 2 2 2 AMQ 1 5 S AM.MQ a 2 8 Nên B'AMQ AMQ 3V a 15 a 15 d B; AMQ d B'; AMQ d NP;AM S 10 5 0.25 6 Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 24 3 P = - . 13a + 12 ab + 16 a + b + cbc 1,0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có a 4b b 4c 13a 12 ab 16 13a 6 a.4b 8 13a 6. 8. 2 2 bc b.4c 16(a b c) 13a 12 ab 16 bc 16(a b c) . Dấu “ = ” xảy ra a 4b 16c . 0.25 Suy ra 3 3 P 2 a b c a b c . Đặt t a b c, t 0 . Khi đó ta có: 3 3 P 2t t 0.25 Xét hàm số 3 3 f t 2t t trên khoảng (0; ) , ta có 2 3 3 f ' t 2t2t t . 2 3 3 f ' t 0 0 t 1 2t2t t ; x 0 lim f (t) ; x lim f (t) 0 BBT. 0.25 Vậy ta có 3 P 2 , đẳng thức xảy ra a b c 1 a 4b 16c 16 4 1 a ;b ;c 21 21 21 . 0.25 www.VNMATH.com Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2 khi và chỉ khi 16 4 1 a,b, c , , 21 21 21 . 7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H(3; -2), trung điểm của đoạn AB là 1 M ;0 2 và phương trình cạnh BC là: x – 3y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 1,0 - Phương trình AH: 3(x 3) 1.(y 2) 0 3x y 7 0 0.25 - Do A AH;B BC. Đặt 21 1 2 x 2 A(x ;7 3x );B(x ; ). 3 M là trung điểm AB 1 2 1 2 21 x x 1 x 2 x 2 x 1(7 3x ) 0 3 A(2; 1); B(-1; -1). 0.25 Đặt 33 x 2 C(x ; ). 3 Có : 33 x 2 AC x 2; 1 ; BH (4; 1) 3 Vì BH AC BH.AC 0 0.25 3 3 3 x 5 19 4(x 2) 1. 0 x 3 11 19 1 C ; 11 11 . Vậy A(2; 1); B(-1; -1); 19 1 C ; 11 11 . 0.25 8.a Một hộp chứa 11 bi được đánh số từ 1 đến 11. Chọn 6 bi một cách ngẫu nhiên rồi cộng thứ tự 6 bi được rút ra với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là số lẻ. 1.0 Gọi H là biến cố:” kết quả thu được là số lẻ”. H xảy ra khi một trong các biến cố sau xảy ra : A : ”1 bi mang số thứ tự lẻ và 5 bi mang số thứ thứ tự chẵn ” B : ”3 bi mang số thứ tự lẻ và 3 bi mang số thứ thứ tự chẵn ” C : ”5 bi mang số thứ tự lẻ và 1 bi mang số thứ thứ tự chẵn ” 0.25 Trong 11 bi có 6bi có số thứ tự lẻ {1,3,5,7,9,11}, 5 bi có số thứ tự chẵn {2,4,6,8,10} 0.25 1 5 3 3 5 1 6 5 6 5 6 5 6 6 6 11 11 11 C .C C .C C .C6 200 30 P A ;P B ;P C ; C 462 C 462 C 462 0.25 A, B, C là các biến cố xung khắc nên 6 200 30 118 P H P A P B P C 462 462 462 231 0.25 9.a Giải phương trình: 2 4 2 24 4 .2 1x xx , (1) 1,0 + Với 2; 2 (2; ) 4 0 1x x VT Suy ra phương trình (1) vô nghiệm 0.25 + Với 22;2 4 0 1x x VT . Suy ra phương trình (1) vô nghiệm 0.25 www.VNMATH.com Với 22 4 0 1x x VT . Suy ra 2x là nghiệm của phương trình 0.25 Với 22 4 0 1x x VT . Suy ra 2x là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm: 2, 2x x . 0.25 7.b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm 1;0H , tâm đường tròn ngoại tiếp 3 3 ; 2 2 I và chân đường cao kẻ từ đỉnh A là 0;2K . Tìm tọa độ A, B, C. 1,0 A B C D M H K I Gọi M là trung điểm BC Phương trình đường cao AH :2x + y - 1 = 0 Phương trình đường thẳng BC :x – 2y +4 = 0 PT đường trung trực IM vuông góc với BC : 9 2x y 0 2 Tọa độ điểm M là 5 1; 2 0.25 Gọi D là điểm đối xứng với A qua I. Ta có DB AB DB / /CH CH AB Tương tự DC//BH nên tứ giác HBDC là hình bình hành nên M là trung điểm HD. Xét tam giác AHD có IM là đường trung bình nên AH 2IM A 2; 2 0.25 Giả sử B 2b 4; b C 6 2b;5 b . Ta có BH.AC 0 0.25 2 b 1 5 2b 4 2b b 7 b 0 b 5b 4 0 b 4 Vậy A(2 ; -2) ; B(-2 ;1) ;C(4 ;4) hoặc A(2 ; -2) ; B(4 ;4); C(-2 ;1) 0.25 8.b Cho khai triển: 210 2 2 14 0 1 2 141 2 3 4 4x x x a a x a x ... a x .Tìm giá trị của 6a 1,0 2210 10 221 2 3 4 4 1 2 2 1 2x x x x x 0.25 10 12 14 4 1 2 4 1 2 1 2x x x 0.25 Hệ số của x6 trong khai triển 10 4 1 2x là: 6 6104.2 C Hệ số của x6 trong khai triển 12 4 1 2x là: 6 6124.2 C Hệ số của x6 trong khai triển 14 1 2x là: 6 6142 C 0.25 Vậy 6 6 6 6 6 66 10 12 144.2 4.2 2 482496a C C C 0.25 9.b Tìm giới hạn: 2 20 1 cos2 lim x x x x . 1,0 2 2 2 2 20 0 0 1 cos 2 1 1 1 cos2 lim lim lim x x x x x x x x x x 0.25 2 2 20 0 1 1 1 1 lim lim 21 1x x x x x 0.25 2 2 20 0 1 cos 2 2sin lim lim 2 x x x x x x 0.25 www.VNMATH.com Vậy 2 20 1 cos 2 1 5 lim 2 2 2x x x x 0.25 ---------- Hết ---------- www.VNMATH.com
Tài liệu đính kèm: