Để kiểm tra chất lượng các môn thi đại học môn toán ­ Năm học 2014 ­ 2015 (thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian phát đề)

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I 
ĐỂ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MễN THI ĐẠI HỌC 
MễN TOÁNư LẦN IưNĂM HỌC 2014ư2015 
Đề thi gồm 8 cõu 
(Thời gian làm bài : 180 phỳt khụng kể thời gian phỏt đề) 
================================== 
Cõu 1(4,0 điểm) :  Cho hàm số :  4 3  2 3 + - =  x x y 
1.  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C ) của hàm số . 
2.  Viết  phương  trỡnh  tiếp  tuyến của đồ  thị  (C  ) biết  tiếp  tuyến đú  vuụng gúc  với 
đường  thẳng d cú phương trỡnh  3 
9 
1 
+ - =  x y  . 
Cõu 2 (2,0 điểm) : 
1 .  Giải bất phương trỡnh :  1 log ) 2 ( log 
3 
1 3 Ê - +  x x 
2.  Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  x x xe x f  x  2 ) (  2 + + =  trờn đoạn [ ] 0 ; 2 -  . 
Cõu 3(2,0 điểm) :  Giải phương trỡnh:  2 cos 3 sin sin 4  2 = + +  x x x 
Cõu 4(2,0 điểm) : Một chiếc hộp  đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. 
Chọn ngẫu nhiờn 6 quả cầu từ hộp. Tớnh xỏc suất để 6 quả cầu được chọn cú 3 quả  cầu 
trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen. 
Cõu 5  (4,0 điểm)  : Cho hỡnh chúp  ABC S.  cú đỏy  ABC  là  tam giỏc vuụng cõn tại  B , 
a AB =  , SA  vuụng gúc với mặt phẳng  ) (ABC  . Gúc giữa mặt phẳng  ) (SBC  và mặt phẳng 
) (ABC  bằng  0 60  .Gọi  M  là trung điểm của  AB . 
1. Tớnh theo  a  thể tớch của khối chúp  ABC S. 
2. Tớnh khoảng cỏch giữa  hai đường thẳng  SM và  AC  theo a . 
Cõu 6(2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú đỉnh A(2;2). 
Biết điểm M(6;3) thuộc cạnh BC, điểm N(4;6) thuộc cạnh CD. Tỡm tọa độ đỉnh C. 
Cõu 7 (2,0 điểm) : Giải hệ phương trỡnh: 
4 3 4 2 
3 2 2 
4 ( 1) 4 1 
( , ) 
8 4 1 6 2 
x y x y y 
x y 
y x x y 
ỡ + + - + = ù ẻ ớ 
+ + = + + ù ợ 
Ă 
Cõu 8 (2,0 điểm) : Cho ba số thực dương  , , x y z  thoả món :  3 x y z + + ³ 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2 
3 3 3 8 8 8 
x y z 
P 
yz x zx y xy z 
= + + 
+ + + + + + 
Cảm ơn bạn Nam Nguyen Huu namnguyenhuu@outlook.com.vn đó gửi tới 
www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I 
ĐÁP ÁN ĐỂ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MễN THI ĐẠI HỌC 
MễN TOÁNư LẦN IưNĂM HỌC 2014ư2015 
Cõu  ý  Nội dung  Điểm 
1.  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C ) của hàm số  4 3  2 3 + - =  x x y  Học sinh tự làm  2,0 
Gọi điểm M(  ) ;  0 0  y x  là tiếp điểm . Ta cú : 
2 ' 3 6 y x x = - 
Đường thẳng  d cú hệ số gúc 
9 
1 
1 - = k  nờn tiếp tuyến cú hệ số gúc  9 2 = k 
0,5 
Từ đú ta suy ra:  0 2 0 0 0 
0 
3 
'( ) 9 3 6 9 0 
1 
x 
y x x x 
x 
= ộ 
= Û - - = Û ờ = - ở 
0,5 
Với  ) 0 ; 1 ( 0 1  0 0 - ị = ị - =  M y x  Phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm  M  là:  9 9 + =  x y 
Với  ) 4 ; 3 ( 4 3  0 0  M y x ị = ị =  Phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm  M  là :  23 9 - =  x y 
0,5 
1 
(4,0đ)  2. 
Vậy cú 2 tiếp tuyến thỏa món  9 9 + =  x y  và  23 9 - =  x y  0,5 
đk  0 > x  . BPT [ ] 3 log ( 2) 1 x x Û + Ê 
1 3 0 3 2 3 ) 2 (  2 Ê Ê - Û Ê - + Û Ê + Û  x x x x x 
0,5 1. 
Kết hợp với điều kiện ta được :  1 0 Ê < x  .Vậy BPT cú tập  nghiệm: T= ( ] 1 ; 0  0,5 
Xột hàm số :  x x xe x f  x  2 ) (  2 + + =  trờn đoạn [ ] 0 ; 2 - 
Ta cú : [ ] '( ) ( 1)( 2) '( ) 0 1 2;0 x f x x e f x x = + + ị = Û = - ẻ - 
0,5 
2 
(2,0đ) 
2. 
Tớnh : 
2 
2 
( 2) f 
e 
- = -  ; 
1 
( 1) 1 f 
e 
- = - -  ;  (0) 0 f = 
Từ đú suy ra : 
[ ] 2;0 
ax ( ) (0) 0 
x 
m f x f 
ẻ - 
= =  và 
[ ] 2;0 
1 
min ( ) ( 1) 1 
x 
f x f 
e ẻ - 
= - = - - 
0,5 
Phương đó cho  tương đương với:  x x x  2 cos 2 cos 3 sin = +  0,5 
2 2 
6 cos( ) cos 2 
6 
2 2 
6 
x x k 
x x 
x x k 
p p 
p 
p p 
ộ = - + ờ 
- = Û ờ 
ờ = - + + ờ ở 
0,5 
2 
2 ; 
6 18 3 
k 
x k x p p p p - = + = +  ,  k ẻ 
0,5 
3 
(2,0đ) 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm :  2 
6 
x k p p - = +  ;  2 
18 3 
k 
x p p = +  , k ẻ 
0.5 
Phộp thử T: “Chọn 6 quả cầu từ 12 quả cầu” 
Số phần tử của khụng gian mẫu W  là W =  6 12 C  = 924 
0,5 
Gọi A là biến cố: “6 quả cầu được chọn cú 3 quả trắng, 2 quả đỏ, 1 quả đen”. 
Chọn 3 quả trắng từ 6 quả cầu trắng: cú  3 6 C  cỏch 
Chọn 2 quả đỏ từ 4 quả cầu đỏ: cú  2 4 C  cỏch 
Chọn 1 quả đen từ 2 quả cầu đen: cú  1 2 C  cỏch 
0,5 
Suy ra, số phần tử của  A W  là:  A W  = 
3 
6 C  . 
2 
4 C  . 
1 
2 C  = 240  0,5 
4 
(2,0đ) 
Vậy xỏc suất của biến cố A là P(A) =  A 
W 
= 
W 
240 20 
294 77 
= 
0,5 
5 
(4,0đ) 
1.  Vỡ ( ) , BC SA BC AB BC SAB ^ ^ ị ^ 
ịGúc giữa mặt phẳng (  ) SBC  và mặt phẳng  ) (ABC  là gúc  ã SBA 
0,5
I 
M 
N 
E 
D 
C 
A 
B 
A 
ã  0 60 SBA ị =  AB SA = ị  tan60 0  3 a =  0,5 
0,5 
0,5 
Gọi N là trung điểm của BC.  / / / /( ) MN AC AC SMN ị ị  . 
Suy ra  ( , ) ( , ( )) ( , ( )) d AC SM d AC SMN d A SMN = = 
Kẻ  ( ) AK MN MN SAK ^ ị ^  ( ) ( ) SAK SMN ị ^  theo giao tuyến SK 
Kẻ  ( ) AH SK AH SMN ^ ị ^  . Do đú  ( , ( )) d A SMN AH = 
0,5 
Do DABC vuụng cõn tại B suy ra DAKM vuụng cõn tại K . 
Suy ra  0 
2 2 
cos 45 
2 4 
AM a 
AK KM AM = = = = 
0,5 
Trong tam giỏc vuụng SAK,ta cú : 
( ) 2 2 2 2 2 2 
1 1 1 1 1 25 3 
3 5 2 3 
4 
a 
AH 
AH SA AK a a a 
= + = + = ị = 
ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
0,5 
2. 
Vậy 
5 
3 
) , ( 
a 
AC SM d = 
0,5 
Gọi 
9 
(5; )
2 
I  là trung điểm của MN. Do ã  0 90 MCN =  nờn C thuộc đường trũn tõm I đường 
kớnh MN. Vỡ CA là phõn  giỏc của gúc ã MCN  nờn CA giao với đường trũn tại điểm E là 
điểm chớnh giữa  ẳ MN  khụng chứa C(A và E nằm cựng phớa so với MN). Suy ra E là giao 
điểm của đường trũn (I) và trung trực của MN. 
0,5 
Phương trỡnh đường trũn ( ) 
2 
2  9 13 
( ) : 5 
2 4 
I x y ổ ử - + - = ỗ ữ 
ố ứ 
Phương trỡnh đường trung trực của MN : 
7 
2 3 0 
2 
x y - + = 
0,5 
Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ 
( ) 
2 
2  9 13 
5 
2 4 
7 
2 3 0 
2 
x y 
x y 
ỡ ổ ử - + - = ù ỗ ữ ù ố ứ ớ 
ù - + = ù ợ 
Ta cú :  1 2 
13 11 7 7 
( ; ); ( ; ) 
2 2 2 2 
E E  .Vỡ A, E cựng phớa so với MN nờn chọn 
7 7 
( ; ) 
2 2 
E  . 
0,5 
6 
(2,0đ) 
Phương trỡnh AE:  0 x y - =  . Do C là giao điểm thứ hai của (I) và AE nờn tọa độ C (6;6)  0,5 
H 
K  N M 
C 
B 
A 
S 
3 
. 
1 3 
.. 
3 6 S ABC ABC 
a 
V SA S ị = =
Chỳ ý : Cỏch 2. 
Gọi vộc tơ phỏp tuyến của BC là ( ) ( ) 2 2 ; , 0 n a b a b = + ạ 
r 
ị pt BC:  6 3 0 ax by a b + - - = 
CD đi qua  (4;6) N  và vuụng gúc với BC suy ra pt CD:  6 4 0 bx ay a b - + - = 
Ta cú : 
2 2 2 2 
0 4 4 2 
( , ) ( , ) 4 4 2 
8 0 
b a b a b 
d A BC d A CD a b a b 
a b a b a b 
= + - ộ 
= Û = Û + = - Û ờ - = + + ở 
*TH1) Nếu  0 b =  chọn  1 a =  khi đú pt BC :  6 0 x - =  và pt CD :  6 0 y - = 
(6;6) C BC CD C = ầ ị  . Phương trỡnh MN :  3 2 24 0 x y + - =  . Kiểm tra A và C khỏc 
phớa đối với đường thẳng MN nờn  (6;6) C  thỏa món bài toỏn. 
*TH2) Nếu 8 0 a b - =  chọn  1, 8 a b = =  khi đú pt BC :  8 30 0 x y + - =  và pt CD : 
8 26 0 x y - - =  Suy ra 
238 214 
( ; ) 
65 65 
C  loại do A và C cựng phớa đối với đường thẳng 
MN.Vậy điểm C cần tỡm là :  (6;6) C 
4 3 4 2 
3 2 2 
4 ( 1) 4 1 
8 4 1 6 2 
x y x y y 
y x x y 
ỡ + + - + = ù 
ớ 
+ + = + + ù ợ 
( ) 
( ) 
1 
2 
4 2 4 2 
4 2 
1 
(1) ( 1) 4 ( 1) 1 ( 4 1)( 1) 0 
4 1 
y 
x y y y y x y y 
x y 
= - ộ 
Û + + + = + Û + - + = Û ờ + = ở 
0,5 
1: 1 TH y = -  thay vào (2) ta cú :  2 2 4 1 4 0; 2 2 x x x x + = + Û = = ±  0,5 
4 2 
1 1 
2 : 4 1  1 1 
2 2 
x 
TH x y 
y 
- Ê Ê ỡ 
ù + = ị ớ 
- Ê Ê ù ợ 
( ) 3 2 2 (2) 8 6 2 4 1 0 3 y y x x Û - - + + - = 
Xột hàm số [ ] 
[ ] 
2 2 
1;1 
( ) 4 1 , 1;1 , min ( ) (0) 4 
x 
f x x x x f x f 
ẻ - 
= + - ẻ - = = 
Xột hàm số  3 
1 1 
; 
2 2 
1 1 1 
( ) 8 6 2, ; , min ( ) ( ) 4 
2 2 2 y 
g y y y y g y g 
ộ ự ẻ -ờ ỳ ở ỷ 
ộ ự = - - ẻ - = = - ờ ỳ ở ỷ 
Do đú :  ( ) ( ) 0 f x g y + ³ [ ]  1 1 1;1 , ;
2 2 
x y ộ ự " ẻ - " ẻ -ờ ỳ ở ỷ 
. Dấu ‘=”  khi 
1 
( ; ) (0; ) 
2 
x y = 
0,5 
7 
(2,0đ) 
Vậy nghiệm của hệ phương trỡnh đó cho  ( ; ) x y  là: 
1 
(0; ); (0; 1); (2 2; 1); ( 2 2; 1) 
2 
- - - - 
0,5 
8 
(2,0đ)  Áp dụng bổ đề: Với  2 2 2 , , 0 a b c >  thỡ 
( ) 2 2 2 2  1 1 1 1 1 1 
2 2 2 2 2 2 
a b c a b c 
a b c a b c 
+ + 
+ + ³ 
+ + 
Ta cú: 
( ) 2 
3 3 3 8 8 8 
x y z 
P 
xy yz zx x y z 
+ + 
³ 
+ + + + + + + + 
Chỳ ý: CM bổ đề: Với  2 2 2 , , 0 a b c >  thỡ 
( ) 2 2 2 2  1 1 1 1 1 1 
2 2 2 2 2 2 
a b c a b c 
a b c a b c 
+ + 
+ + ³ 
+ + 
Áp dụng BĐT Bunhiacopski với 2 dóy  1 1 1 
2 2 2 
, , 
a b c 
a b c 
và  2 2 2 , , a b c  ta cú: 
( ) ( ) 
2 2 2 
2 1 1 1 
2 2 2 1 1 1 
2 2 2 
a b c 
a b c a b c 
a b c 
ổ ử 
+ + + + ³ + + ỗ ữ 
ố ứ 
. 
Do  2 2 2  0 a b c + + >  nờn cú: 
( ) 2 2 2 2  1 1 1 1 1 1 
2 2 2 2 2 2 
a b c a b c 
a b c a b c 
+ + 
+ + ³ 
+ + 
suy ra đpcm. 
0,5
Dấu bằng xảy ra 
1 1 1 
2 2 2  1 1 1 
2 2 2 2 2 2 
a b c 
a b c  a b c 
a b c a b c 
Û = = Û = = 
Lại cú 
2 
3 2  6 8 (2 )(4 2 ) 
2 
x x 
x x x x 
- + 
+ = + - + Ê  . Dấu bằng xảy ra khi 
1 
2 
x 
x 
= ộ 
ờ = ở 
2 
3 2  6 8 (2 )(4 2 ) 
2 
y y 
y y y y 
- + 
+ = + - + Ê  .Dấu bằng xảy ra khi 
1 
2 
y 
y 
= ộ 
ờ = ở 
2 
3 2  6 8 (2 )(4 2 ) 
2 
z z 
z z z z 
- + 
+ = + - + Ê  .Dấu bằng xảy ra khi 
1 
2 
z 
z 
= ộ 
ờ = ở 
0,5 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
2 2 
2 2 2 2 
2. 2. 
2 ( ) 18  ( ) 18 
x y z x y z 
P 
xy yz xz x y z x y z  x y z x y z 
+ + + + 
³ = 
+ + - + + + + + + + + - + + + 
Đặt  t x y z = + +  điều kiện  3 t ³  . Ta cú 
2 
2 
2 
18 
t 
P 
t t 
³ 
- + 
với  3 t ³ 
0,5 
Xột hàm số ( ) 
2 
2 
2 
18 
t 
f t 
t t 
= 
- + 
trờn [ ) 3;+Ơ 
Ta cú : ( ) 
( ) 
2 
2 2 
36 
' 2. 
18 
t t 
f t 
t t 
- + 
= 
- + 
0 
'( ) 0 
36 
t 
f t 
t 
= ộ 
= Û ờ = ở 
, lim ( ) 2 
x 
f t 
đ+Ơ 
= 
BBT của  ( ) f t  trờn nửa khoảng [ ) 3;+Ơ 
Ta cú 
[ ) 3; 
3 
min ( ) (3) 
4 t 
f t f 
ẻ +Ơ 
= = 
Vậy Min P = 
3 
4 
khi  1 x y z = = = 
t  3  36 +Ơ 
'( ) f t +  0 - 
( ) f t 
144 
71 
3 
4 
2 
0,5 
Chỳ ý: 
1) Nếu thớ  sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn nhưng đỳng thỡ cho đủ số điểm từng phần 
như hướng dẫn quy định. 
2) Việc chi  tiết húa  (nếu cú)  thang điểm  trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm khụng  làm sai  lệch 
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 
3) Điểm bài thi là tổng điểm khụng làm trũn. 
Cảm ơn bạn Nam Nguyen Huu namnguyenhuu@outlook.com.vn đó gửi tới 
www.laisac.page.tl