Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 8 năm học: 2013 - 2014 môn: Toán thời gian làm bài: 150 phút

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2013 - 2014
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề gồm: 01 trang)
Câu 1. ( 2,5 điểm)
Cho biểu thức 
 a, Rút gọn biểu thức P.
 b, Với thì P không nhận những giá trị nào?
 c, Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên tố.
Câu 2. ( 2,5 điểm)
 a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 b, Tính giá trị của biểu thức ( Với n là số tự nhiên ),
 biết rằng 
Câu 3. ( 1 điểm)
 Cho . Chứng minh rằng .
Câu 4. (3,0 điểm)
 Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O vẽ một đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. 
Chứng minh rằng :
 a, OM=ON
 b, 
 c, 
Câu 5. (1 điểm)
 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và a+b+c=3.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
--------------------------- Hết --------------------------
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2013 - 2014
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn gồm: 02 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
1
(3đ)
a, ĐKXĐ x
0,25
0,75
b, 
Vậy P không lấy các giá trị từ 1 đến -1, tức là 
0,5
0,25
0,25
c. 
P là số nguyên khi 
Mà P là số nguyên tố nên chỉ có các giá trị sau thoả mãn x.
0,25
0,25
2
(2,5đ)
a, 
=
=
0,5
0,25
0,25
b, Vì nên 
Nếu 
Nếu n = 3k+1 và thì:
Nếu n = 3k+2, k là số tự nhiên thì: 
Vậy A = 2 ( với n chia hết cho 3) hoặc A=-1 ( Với n không chia hết cho 3).
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(1đ)
Giả sử 
(do )
> (do )
> (vô lí ) . Vậy 
0.25
0,25
0,25
0,25
4
(3đ)
 A B
 M O N
 D C
a, 
Suy ra 
0,5
0,5
b, OM//AB
Chia cả hai vế cho OM ta được: 
0,5
0,25
0,25
c, Ta thấy tam giác AOD và tam giác AOB có cùng đường cao hạ từ A xuống BD => (1)
 Ta thấy tam giác COD và tam giác COB có cùng đường cao hạ từ C xuống BD => (2)
Từ (1) (2) => 
 (Đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(1đ)
Ta có 3-2a = a+b+c-2a = b+c-a > 0 và 3-2b > 0, 3-2c > 0
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có
( cộng hai vế với )
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều.
0,25
0,25
0,25
0,25
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
------------------------ Hết ------------------------
 Họ, tên GV ra đề: Phạm Thị Quyên.
 Đơn vị công tác: Trường THCS Cẩm Văn.