Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 8 huyện Ninh Giang Môn: Toán

PHÒNG GD&ĐT NINH GIANG
------------ả------------
Đấ̀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Mụn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (khụng kờ̉ thời gian giao đờ̀)
Ngày thi: 04 thỏng 4 năm 2013
Cõu 1 (2,0 điểm)
	1) : Rỳt gọn Với x ≠ 5 và x ≠ 2
	2) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử B = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
Cõu 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trỡnh: 
	2) Cho phương trỡnh . Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương.
Cõu 3 (2,0 điểm)
1) Tỡm n N* sao cho n2 + n + 13 là số chớnh phương. 
	2) Tớnh giỏ trị của biểu thức với x = 18
Cõu 4 (3,0 điểm)
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB < AC, tia phõn giỏc của gúc BAC cắt cạnh BC tại D. Qua D kẻ cỏc đường thẳng DM và DN lần lượt vuụng gúc với AB và AC (Mẻ AB; NẻAC).
Chứng minh: BD.ND = BM.CD
Gọi E là giao điểm của BN và MD, F là giao điểm của CM và DN. Chứng minh EF song song với BC
Chứng minh AF vuụng gúc với BN
Cõu 5 (1,0 điểm)
	Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: với 
---------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG MễN TOAN 8 NĂM HỌC 2012-2013
Cõu
Đỏp ỏn
Điểm
Cõu 1
0.25
0.25
0.5
B = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 
= ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) 
= (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
0.25
0.25
0.5
Cõu 2
1) (2)
Điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm: 
 (2)
 Với x = 0 (khụng TM đk); x = -8 (TM đk)
Vậy phương trỡnh đó cho cú một nghiệm 
2) Điều kiện: 
m = 1phương trỡnh cú dạng 0x = -12 vụ nghiệm.
 phương trỡnh trở thành 
Để là nghiệm dương của (1) thỡ 
Vậy pt (1) cú nghiệm dương khi .
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
Cõu 3
1) Tỡm n N* sao cho n2 + n + 13 là số chớnh phương. 
Đặt n2 + n + 13 = y2 (y N*) => 4n2 + 4n + 52 = 4y2 
 (2y + 2n + 1) (2y – 2n - 1) = 51 
 Vậy n = 3, hoặc n = 12
2) Ta cú
 A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25
 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - (x – 18 ) + 7 
Thay x = 18 cú A = 7
 B = x10 – 21x9 + 52x8 +36x3 +1= x9 ( x – 18) – 3x8( x- 18 ) -2x7 ( x-18) – 1
Thay x = 18 cú B = -1
Do đú với x = 18 thỡ giỏ trị của biểu thức .
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
Cõu 4
a) Chứng minh được tam giỏc BMD và tam giỏc DMC đồng dạng (g.g). Từ đú ta cú 
b) Tứ giỏc AMDN là hỡnh vuụng (vỡ cú 3 gúc vuụng và một đường chộo là tia phõn giỏc)
BCM cú DF//MB => (1)
 Theo cõu a cú (2)
 Cú BM//DN => (3)
Từ (1), (2), (3) ta cú => EF // BC (theo định lớ Ta lột đảo)
c) Cú (Vỡ AN = ND)
 (Vỡ ND//AB)
 (Vỡ AM = AN)
 Từ đú suy ra 
=> tam giỏc BAN đồng dạng với tam giỏc ANF (c.g.c)
=> => AF vuụng gúc với BN.
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Cõu 5
Đặt a -1 = x (x > 0); b -1 = y (y > 0) 	
khi đú ta cú: a = x + 1 và b = y + 1 khi đú 
M đạt giỏ trị nhỏ nhất khi và chỉ khi: đạt giỏ trị nhỏ nhất.
ỏp dụng bất đẳng thức cụ si cho bộ 2 số dương x, và y, ta cú;
 Suy ra maxM = 8.	 
 Dấu bằng xảy ra khi 
0.5
0.25
0.25