Đề khảo sát học sinh giỏi huyện năm học 2015 - 2016 môn: Toán 8 thời gian làm bài: 120 phút

PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1 (4,0 điểm). 
	Cho biểu thức: 
	a. Rút gọn P
	b. Tìm các giá trị của x để P = 6 
Bài 2 (4,0 điểm). 
a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:
. Chứng minh A = abcd là số chính phương.
b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3.
Bài 3 (3,0 điểm). 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017
b. Giải phương trình: 
Bài 4 (3,0 điểm). 
	a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều.
	b. Cho x, y, z dương và x + y + z =1. Chứng minh rằng : 
Bài 5 (5,0 điểm). 
	Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
	a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD
	b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM
	c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH
	d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
Bài 6 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
------HẾT------
Họ và tên học sinh:Số báo danh: ..
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2015-2016
Bài
Nội dung
Biểu điểm
1
Cho biểu thức: 
	a. Rút gọn P
	b. Tìm các giá trị của x để P = 6 
a) 
 = 
 =
 Vậy P = 
0.25
1
1
0.25
b) ĐK: 
P = 6 
 (1) hoặc (2)
Ta có (1) 
 (tmđk)
(2) vô nghiệm
 Vậy 
0.25
0.25
0.25
0,25
0.25
0.25
2
a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: . 
Chứng minh A = abcd là số chính phương.
b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3.
a) 
 (vì b ≠ d)
Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
+) Thực hiện phép chia a3 – 2a2 + 7a – 7 cho a2 + 3, kết quả :
a3 – 2a2 + 7a – 7 = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1)
+) Lập luận để phép chia hết thì 4a -1 phải chia hết cho a2 + 3
 (vì nên )
+) Tìm a, thử lại và kết luận a 
0,5
0,5
0,5
0,5
3
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017
b. Giải phương trình: 
a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017
 = (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017
 = (2x2 – 3x )2- 1 + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016 
Dấu "="  xảy ra 
 Vậy A min = 2016 
0.5
0.5
0.75
0.25
b) . Điều kiện x
 (*)
Đặt = a và = b suy ra ab = 
Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0
 (a – 3b)(a + 4b) = 0 
+ Nếu a = 3b thì = 
 (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2
Giải phương trình trên và kết luận phương trình vô nghiệm 
+ Nếu a = -4b thì = 
 (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2
Giải phương trình trên ta được (tmđk)
+ Kết luận nghiệm của phương trình S = { 3; }
0,25
0, 25
0,25
0,5
0,5
0,25
4
a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: 
 a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều.
b. Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1. 
Chứng minh rằng : 
a) C/m: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
+) Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0
Þ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 ( vì a + b + c > 0 ) 
+) Biến đổi được kết quả: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Þ Þ a = b = c Þ Tam giác đó là đều (đpcm)
0,5
0,25
0,5
0,25
b) Đặt a = x2 + 2yz; b = y2 + 2xz; c = z2 +2xy
 Þ a, b, c > 0 và a + b + c = (x + y + z)2 = 1
+) C/m: 
Þ hay (đpcm)
0,5
0,5
0,5
5
Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
	a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD
	b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM
	c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH
	d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
Vẽ hình và ghi GT, KL
0,5
a) Chứng minh: 
 (đpcm)
0,5
0,25
0,25
b) Theo câu a ta có: 
Mà 
+) Chứng minh: 
+) Chứng minh: (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Ta có OC là trung trực của AM
ÞOC ^ AM, 
Mặc khác OA = OM = OB Þ∆AMB vuông tại M
ÞOC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI
+) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi qua trung điểm AI Þ IC = AC
+) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
Mà IC = AC Þ MK = HK ÞBC đi qua trung điểm MH (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
d) Tứ giác ABDC là hình thang vuông
Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có
Dấu “=” xảy ra Û 
Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA
0,25
0,25
0,25
0,25
6
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
+) Với a, b, c, d dương, ta có
(theo bất đẳng thức )
+) Mặc khác: 
Suy ra và đẳng thức xảy ra Û a = c; b = d
+) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có:
Đẳng thức xảy ra Û y = 2016; x = 2015
0,5
0,25
0,25
Lưu ý : 
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.