SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2014-2015 Mụn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 23 3 1y mx mx m cú đồ thị là mC . a) Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số với 1m . b) Chứng minh rằng với mọi 0m đồ thị mC luụn cú hai điểm cực trị A và B, khi đú tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để 2 2 22 ( ) 20AB OA OB ( trong đú O là gốc tọa độ). Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: sin sin cos cosx x x x 2 3 2 3 2 3 Cõu 3(1 điểm): Giải hệ phương trỡnh: 2 2 2 1 2 4( 1) 4 2 7 x y x y x y xy . Cõu 4 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn tại C, cạnh huyền bằng 3a, G là trọng tõm tam giỏc ABC, 14( ), 2 aSG ABC SB . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng ( )SAC theo a. Cõu 5 (1 điểm): Cho x, y, z là ba số dương thoả món x2 + y2 + z2 = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1P 2xyz x y z Cõu 6(1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh đường thẳng :2 1 0AB x y , phương trỡnh đường thẳng : 3 4 6 0AC x y và điểm (1; 3)M nằm trờn đường thẳng BC thỏa món 3 2MB MC . Tỡm tọa độ trọng tõm G của tam giỏc ABC. Cõu 7 (1điểm):Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn 2 2: 1 2 13C x y vμ đ−ờng thẳng : 5 2 0x y . Gọi giao điểm của (C) với đ−ờng thẳng lμ A, B. Xác định toạ độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông tại B vμ nội tiếp đ−ờng tròn (C). Cõu 8 (1,0 điểm). Tỡm hệ số của 2x trong khai triển thành đa thức của biểu thức 62 1P x x . Cõu 9 (1,0 điểm). Tỡm tất cả cỏc giỏ trị m để bất phương trỡnh 2 1m x m x cú nghiệm trờn đoạn 0;2 . -----------Hết----------- Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh:.......; Số bỏo danh Cảm ơn cụ Thu Phương ( phuongthu@yahoo.com.vn) đó gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU ĐÁP ÁN KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2014-2015 Mụn: TOÁN; Khối A II. ĐÁP ÁN: Cõu í Nội dung trỡnh bày Điểm 1 a 1,0 điểm Với 1m , hàm số đó cho cú dạng: 3 23y x x TXĐ: Giới hạn: 3 2 3 3lim ( 3 ) lim 1 x x x x x x ; 3 2 3 3lim ( 3 ) lim 1 x x x x x x 0,25 Sự biến thiờn của hàm số. Ta cú: 2' 3 6y x x ; 0' 0 2 x y x BBT: x 0 2 y’ 0 0 y 0 4 0,25 Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng ;0 và 2; , nghịch biến trờn khoảng 0;2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm 0x ; giỏ trị cực đại của hàm số là 0 0y Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x ; giỏ trị cực tiểu của hàm số là 2 4y . 0,25 Đồ thị: Giao điểm với trục tung là điểm 0;0 . 0 0 3 x y x Nhận xột: Điểm 1; 2I là tõm đối xứng của đồ thị hàm số. 0,25 b 1,0 điểm Ta cú: 2' 3 6y mx mx 0' 0 2 x y x ( Với mọi m khỏc 0). Do 'y đổi dấu qua 0x và 2x nờn đồ thị hàm số cú hai điểm cực trị ( đpcm) 0,25 Với 0 3 1x y m ; 2 3x y m . 0,25 Do vai trũ của A,B như nhau nờn khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử 0;3 3 , 2; 3A m B m Ta cú: 2 2 22 20OA OB AB 2 2 29 1 4 3 2 4 16 20m m m 0,25 211 6 17 0m m 1 17 11 m m KL: Với 1 17 11 m m thỡ ycbt được thỏa món. 0,25 2 1,0 điểm Phương trỡnh đó cho tương đương với: 3 1 3 11 .sin 2 cos 2 3 sin cos 0 2 2 2 2 x x x x 0,25 cos sinx x 1 2 3 03 6 0,25 sin sin sin sin (loai) x x x x 2 0 6 2 3 0 6 6 3 6 2 0,25 Với sin 0 , . 6 6 x x k k 0,25 3 1,0 điểm HPT 724 )1(0612)12(2 22 xyyx yxyx Điều kiện: x+2y 1 0 Đặt t = 2 1 (t 0)x y 0,25 Phương trỡnh (1) trở thành : 2t2 – t – 6 = 0 2 / 3 t/m 2 t t m t k 0,25 Khi đú hpt đó cho 2 2 1 12 3 24 2 7 1 2 x yx y xx y xy y (t/m đk) 0,25 Vậy nghiệm (x,y) của hệ đó cho là: (1,1) và ) 2 1,2( . 0,25 4 1,0 điểm H M I G S C BA Vỡ tam giỏc ABC vuụng cõn tại C, 33 2 aAB a CA CB Gọi M là trung điểm AC 3 2 2 aMC 3 5 2 2 aMB 0,25 2 22 5 3 2 aBG BM SG SB BG a 3 . 1 3. 3 4S ABC ABC aV SG S (đvtt) 0.25 Kẻ ( ) ( )GI AC I AC AC SGI Ta cú 1 3 2 aGI BC . Kẻ ( ) ( ) ( , ( ))GH SI H SI GH SAC d G SAC GH 0,25 Ta cú 2 2 2 1 1 1 3 aGH GH GS GI ( , ( )) 3 ( , ( )) 3 3d B SAC d G SAC GH a 0.25 5 1,0 điểm Áp dụng BĐT Cauchy: 3 1 1 1 3 x y z xyz Nờn P ≥ 3 3 2xyz xyz . Đẳng thức khi: x = y = z. 0.25 Đặt t = 3 xyz Cũng theo Cauchy: 1 = x2 + y2 +z2 ≥ 2 2 233 x y z . Đẳng thức khi x = y = z. Nờn cú: 0 < t ≤ 3 3 0.25 Xột hàm số: f(t) = 33 2t t với 0 < t ≤ 3 3 Tớnh f’(t) = 4 2 2 2 3 3(2t 1)6t t t Lập bảng biến thiờn của f(t) rồi chỉ ra : f(t) ≥ 29 3 9 t 30; 3 . 0.25 Từ đú: P ≥ 29 3 9 . GTNN của P là 29 3 9 đạt khi x = y = z = 3 3 0.25 6 1,0 điểm Vỡ B thuộc đường thẳng (AB) nờn ;1 2B a a , Tương tự: 2 4 ;3C b b Ta cú: 1;4 2MB a a , 3 4 ;3 3MC b b 0.25 Ta cú 2; 3AB AC A A . Vỡ B, M, C thẳng hàng, 3 2MB MC nờn ta cú: 3 2MB MC hoặc 3 2MB MC 0.25 TH1: 3 2MB MC 3 1 2 3 4 3 4 2 2 3 3 a b a b 11 5 6 5 a b 11 17; 5 5 B , 14 18; 5 5 C 7 10; 3 3 G 0.25 TH2: 3 2MB MC 3 1 2 3 4 3 4 2 2 3 3 a b a b 3 0 a b 3; 5 , 2;0B C 81; 3 G Vậy cú hai điểm 7 10; 3 3 G và 81; 3 G thỏa món đề bài. 0.25 7 1,0 điểm -Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trỡnh: 1 3 0 2 25 02626 025 1321 222 y x y x yx yy yx yx 0,25 2;0 , 3; 1A B hoặc 3; 1 , 2;0A B 0,25 -Vỡ tam giỏc ABC vuụng tại B và nội tiếp đường trũn (C) nờn AC là đường kớnh của đường trũn (C). Hay tõm 21;I là trung điểm của AC. 0,25 Khi đú: 2;0 , 3; 1 4;4A B C 3; 1 , 2;0 1;5A B C Vậy: 44;C hoặc 51;C 0,25 8 1,0 điểm Theo cụng thức nhị thức Niu-tơn, ta cú: 0 6 1 2 5 2 6 5 10 6 12 6 6 6 6 6( 1) ( 1) ( 1) ( 1) k k kP C x C x x C x x C x x C x 0.25 Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, 2x chỉ xuất hiện khi khai triển 0 66 ( 1)C x và 1 2 5 6 ( 1)C x x . 0.25 Hệ số của 2x trong khai triển 0 66 ( 1)C x là : 0 26 6.C C Hệ số của 2x trong khai triển 1 2 56 ( 1)C x x là : 1 06 5.C C 0.25 Vỡ vậy hệ số của 2x trong khai triển P thành đa thức là : 0 26 6.C C 1 06 5.C C = 9. 0.25 9 1,0 điểm Ta cú 22 1 2 2 1m x m x m x m x x 2 4 1 1 x xm x (vỡ 0;2x ) 0.25 Xột hàm số 2 4 1 1 x xf x x trờn đoạn 0;2 , ta cú 2 2 2 5 ; 0 1 6 1 x xf x f x x x 0.25 Bảng biến thiờn 0 1; 2 1; 1 6 2 6 6 f f f 0.25 Vậy : bất phương trỡnh đó cho cú nghiệm thỡ 0;2min 1 6 2 6 6m f x f . 0.25 +_ 0 - 1 1 2 6 - 6 f(x) f'(x) x 2-1+ 60 Cảm ơn cụ Thu Phương ( phuongthu@yahoo.com.vn) đó gửi tới www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: