Đề khảo sát chất lượng lần 1 lớp 12 năm học 2015 - 2016 đề thi môn: Toán thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 LỚP 12 
NĂM HỌC 2015-2016 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề 
Câu I (2 điểm). Cho hàm số mxxmxy −++−= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với 1=m . 
2. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21, xx sao cho 1 2 2x x− = . 
Câu II(3 điểm). Giải các phương trình, hệ phương trình sau 
1. 1 3cos cos 2 2 cos 3 4 sin .sin 2x x x x x+ + − = 
2. ( )3 9
3
42 log log 3 1
1 logx
x
x
− − =
−
3. 
3 4 3 ( 2) 2
( 5) 2 4 0
y y x x x
x y x y y
 + + = + + −

+ − − + − =
Câu III (1 điểm). Tính tổng ( )( )( )
1 2 3 12 3
...
2.3 3.4 4.5 1 2
n n
nn n n
nCC C CS
n n
−
−
= + − + +
+ +
Câu IV(1 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a , góc tạo bởi cạnh 
bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường 
thẳng B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 
và B1C1 theo .a 
Câu V(1 điểm). Tính giới hạn 
3 2
22
6 4lim .
4x
x xL
x→
− − +
=
−
Câu VI (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 2 21( ) : 13C x y+ = và đường 
tròn 2 22( ) : ( 6) 25C x y− + = cắt nhau tại A(2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và lần 
lượt cắt 1 2( ), (C )C theo hai dây cung phân biệt có độ dài bằng nhau. 
Câu VII( 1 điểm). Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 3
1 1 11 1 1P
ab bc ca
   
= − − −   
   
. 
------------------------Hết---------------------- 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
ĐÁP ÁN KHẢO SÁT TOÁN LẦN 1, LỚP 12, NĂM HỌC 2015_2016 
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 
Cho hàm số mxxmxy −++−= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1=m . 
Với 1=m ta được 196 23 −+−= xxxy . 
*TXĐ: .D = ℝ 
0,25 
* Sự biến thiên của hàm số 
Giới hạn tại vô cực 
lim
lim
x
x
y
y
→−∞
→+∞
= −∞
= +∞
Chiều biến thiên 
 )34(39123' 22 +−=+−= xxxxy 
'
1
0
3
x
y
x
=
= ⇔ 
=
0,25 
Bảng biến thiên 
x −∞ 1 3 +∞ 
'y + 0 - 0 + 
y 
 3 +∞ 
−∞ -1 
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )1,(−∞ và ),3( ∞+ . 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ).3,1( 
 Hàm số đạt cực đại tại 1=x và 3)1( == yyCD ; 
 Hàm số đạt cực tiểu tại 3=x và 1)3( −== yyCT . 
0,25 
Câu I.1 
(1 đ) 
* Đồ thị 
( Tìm được các điểm đặc biệt và vẽ đúng dạng đồ thị) 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-5 5 10 15
f x( ) = x⋅x⋅x-6⋅x⋅x( )+9⋅x( )-1
0,25 
Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21, xx sao cho 1 2 2x x− = . 
Ta có: .9)1(63' 2 ++−= xmxy 
0,25 
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21, xx ⇔ Phương trình 0'=y có hai nghiệm 
pb là 21, xx ⇔ Pt 03)1(22 =++− xmx có hai nghiệm phân biệt là 21, xx 
2
' ( 1) 3 0
1 3
 (1)
1 3
m
m
m
⇔ ∆ = + − >
 > − +
⇔ 
< − −
0,25 
Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: .3);1(2 2121 =+=+ xxmxx 
( )
( )
2
1 2 1 2 1 2
2
2 4 4
 4 1 12 4
x x x x x x
m
− = ⇔ + − =
⇔ + − =
2( 1) 4
3 (2)
1
m
m
m
⇔ + =
= −
⇔ 
=
0,25 
Câu I.2 
(1 đ) 
Từ (1) và (2) ta được: 3
1
m
m
= −

=
 TMYCBT. 
0,25 
Câu 
Giải phương trình 1 3cos cos 2 2 cos 3 4 sin .sin 2x x x x x+ + − = (1) 
 (1) ( )1 3cos cos 2 2 cos 2 4sin .sin 2x x x x x x⇔ + + − + = 
0,25 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
 ⇔ ( )1 3cos cos 2 2 cos .cos 2 sin .sin 2 4sin .sin 2x x x x x x x x+ + − − = 
 ⇔ ( )1 3cos cos 2 2 cos .cos 2 sin .sin 2 0x x x x x x+ + − + = 
 ⇔ 1 3cos cos 2 2 cos 0x x x+ + − = ⇔ 1 cos cos 2 0x x+ + = 
0,25 
 ⇔ 22 cos cos 0x x+ = 
 ⇔ 
cos 0
1
cos
2
x
x
=

 = −

0,25 
II.1 
(1 đ) 
 ⇔ 2 ; .
2 2
3
x k
k
x k
pi
pi
pi
pi

= +
∈

= ± +

ℤ 
0,25 
Giải phương trình ( )3 9
3
42 log log 3 1 (1)
1 logx
x
x
− − =
−
ĐKXĐ: 
0
3 (*)
1
9
x
x
x

 >

≠

 ≠

0,25 
Với ĐK (*), ta có : 
( )3
3 3
1 4(1) 2 log 1
log 9 1 log
x
x x
⇔ − − =
−
3
3 3
2 log 4 1
2 log 1 log
x
x x
−
⇔ − =
+ −
 (2) 
0,25 
Đặt: 3logt x= ( ĐK: 
1 (**)
2
t
t
≠

≠ −
) 
Khi đó phương trình (2) trở thành: 
2
12 4 1 2
2 1 3 4 0
1
 4
tt
t
t t t t
t
t
 ≠
− 
− = ⇔ ≠ −
+ −
− − =
= −⇔
=
0,25 
Câu 
II.2 
(1 đ) 
1
3
81
x
x

=⇒

=
0,25 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
So sánh điều kiện được 2 nghiệm 1 ; 81
3
x x= = 
Giải hệ phương trình 
3 4 3 ( 2) 2 (1)
( 5) 2 4 0 (2)
y y x x x
x y x y y
 + + = + + −

+ − − + − =
ĐKXĐ: (*)
2
x y
x
≥
 ≥
0,25 
Đặt 
a x y
b x y
= +

= −
(ĐK: 0).b ≥ 
Thay vào phương trình (2) ta được: 
2( 5) 4 0 ( 1)( 4) 0
 4
 4 (3)
a b a b b a b
a b
x y x y
− + − − = ⇔ + − − =
⇔ = +
⇒ + = + −
0,25 
Ta có: 3 3(1) ( 2 1) ( 2 1)y y x x⇔ + = − + + − + 
Xét hàm số: 3( )f t t t= + đồng biến trên .ℝ 
Do đó ta có: 2 1 (4)y x= − + 
0,25 
Câu 
II.3 
(1 đ) 
Từ (3) và (4) ta được: 
4 2 2 2 2
1 2 2 1
x y x y x y x y
y x x y
 + = + − − + = + − + − 
⇔ 
− = − − = −  
2 2
2 2
( 1) 2 ( 1) 2
2 1
1 3 3
2 1
3
2
y y y y
x y
y y y y
x y
x
y

− + = + − + −
⇔ 
− = −

− − = − +
⇔ 
− = −
=
⇔ 
=
Kết hợp với điều kiện (*), ta được: 3
2
x
y
=

=
 là nghiệm của hệ phương trình đã 
cho. 
0,25 
Câu III 
(1 đ) Tính tổng 
( )
( )( )
1 2 3 12 3
...
2.3 3.4 4.5 1 2
n n
nn n n
nCC C CS
n n
−
−
= + − + +
+ +
0,25 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
Ta có ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
1
11 !! 1
.
1 ! 1 ! 1 11 ! 1 1 !
k k
n n
nC Cn
k k k n k n nk n k
+
+
+
= = =
+ + − + ++ + − +  
 (3) 
Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được: ( )( )( )
( )
( )( )
2
21 1
1 2 1 2
k kk k
n nkC kC
k k n n
+
+− −
=
+ + + +
0,25 
Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có 
 ( ) ( ) ( )3 4 5 22 2 2 21 2 2 3 ... 1 n nn n n nn n S C C C nC ++ + + ++ + = − + − + + − 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3 3 4 4 5 1
1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 1
1 1 1 1
2 3 ... 1
... 1
n n
n n n n n n n
n n
n n n n
C C C C C C nC
C C C C
+
+ + + + + + +
+
+ + + +
= − + + + − + + + −
= − + − + + −
0,25 
( )( )
( ) ( )
10 1 0 1 2 3 4 5 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
... 1
1 1 1 1
n n
n n n n n n n n n
n
C C C C C C C C C
n n
+ +
+ + + + + + + + +
−
= − − − + − + − + + − =
− + − − = −
Vậy ( )( )1 2
nS
n n
−
=
+ +
. 
0,25 
Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a , góc tạo bởi 
cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt 
phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ 
ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo .a 
Do )( 111 CBAAH ⊥ nên góc 1AA H là góc giữa AA1 và (A1B1C1), theo giả thiết 
thì góc 1AA H bằng 30
0
. 
0,25 
Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc 1AA H =30
0
2
aAH⇒ = . 
1 1 1 1 1
2 3a a 3 3
.
2 4 8ABCA B C A B C
aV AH S= = ⋅ =
0,25 
Câu IV 
(1 đ) 
Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc 1AA H =30
0
2
3
1
aHA =⇒ . Do tam 
C 
A B 
C1 
B1 
K 
H 
 A1 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
giác A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và 2
3
1
aHA = nên A1H 
vuông góc với B1C1. Mặt khác 11CBAH ⊥ nên )( 111 HAACB ⊥ 
Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và 
B1C1 
0,25 
Ta có AA1.HK = A1H.AH 4
3.
1
1 a
AA
AHHAHK ==⇒ 
0,25 
Tính giới hạn 
3 2
22
6 4lim .
4x
x xL
x→
− − +
=
−
3 2
22
6 2 2 4lim
4x
x xL
x→
− − + − +
=
−
0,25 
22 2
2
6 2 2lim lim
4 ( 2)( 2)( 6 2)
1
 lim ( 2)( 6 2)
1
16
x x
x
x x
x x x x
x x
→ →
→
− − −
=
−
− + − +
−
=
+ − +
= −
0,25 
3 2 2
2 2 2 2 3 22 2 3
4 2 4 8lim lim
4 ( 4)[ ( 4) 2 4 4]x x
x x
x x x x→ →
+ − + −
=
−
− + + + +
2 2 3 22 3
1lim
( 4) 2 4 4
1
12
x x x→
=
+ + + +
=
0,25 
Câu V 
(1 đ) 
7
48
L⇒ = − 
0,25 
Câu VI 
(1 đ) 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 2 21( ) : 13C x y+ = và 
đường tròn 2 22( ) : ( 6) 25C x y− + = cắt nhau tại A(2; 3). Viết phương trình 
đường thẳng đi qua A và lần lượt cắt 1 2( ), (C )C theo hai dây cung phân biệt 
có độ dài bằng nhau. 
Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) lần lượt là M và 
N. 
Gọi ( ; )M x y 2 21( ) 13C x y∈ ⇒ + = (1) 
0,25 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
Vì A là trung điểm của MN nên (4 ; 6 )N x y− − 
Do N 2 22( ) (2 ) (6 ) 25C x y∈ ⇒ + + − = (2) 
0,25 
Từ (1) và (2) ta có hệ 
2 2
2 2
2
3
13 17
(2 ) (6 ) 25 5
6
5
x
y
x y
x
x y
y
 =

=
 + =  ⇔ = −+ + − =  
=
⇒ M( 17
5
−
 ; 
6
5
) 
0,25 
Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình: 3 7 0x y− + = 0,25 
Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 3
1 1 11 1 1P
ab bc ca
   
= − − −   
   
. 
Đặt 3A P= 
Ta có: 
( )( ) ( )
( )2
1 1 11 1 11 1 1
ab bc ca
A
ab bc ca abc
− − −   
= − − − =   
   
0,25 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân có : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 1 1 12 2
1 1
4 4 4
1 1 1
2
a b ca b a b a b
ab
c a b
+ + + + + + + − −  
− ≥ − = =
+ + +
≥
Tương tự có: ( ) ( ) ( )1 1 11
2
a c b
bc
+ + +
− ≥ 
( ) ( )( )1 1 1
1
2
b c a
ca
+ + +
− ≥ 
0,25 
Do đó 
21 1 1 11 1 1
8
A
a b c
    ≥ + + +    
    
0,25 
Câu 
VII 
(1 đ) 
Mà: 
3
3
3
1 1 1 11 1 1 1 4
a b c abc
    
+ + + ≥ + ≥    
     
0,25 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Facebook.com/mathvn.com 
Do đó min P = 8 đạt được khi a = b = c = 1
3