Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
ĐỀ KSCL HSG NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (4 điểm)
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
 Chứng minh rằng với mọi , đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt . Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với tại và . Tìm để tổng đạt giá trị lớn nhất.
Câu II (4 điểm)
Giải phương trình:.
Giải hệ phương trình: 
Câu III (4 điểm)
1. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm thực thuộc đoạn [-1; 1]
 .
2. Cho các số thực thỏa mãn và . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 Câu IV (4 điểm)
 1. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của ,
biết 
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình thang ABCD vuông tại A và D; . Đường thẳng BD có phương trình , đường thẳng AC đi qua điểm . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2
Câu V (4 điểm)
1. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của và là trung điểm của Biết , ; góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích khối chóp và tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt Oy, Oz lần lượt tại B, C() với . Chứng minh rằng: . Từ đó, tìm sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
Hết.
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
 GV : Nguyễn Thị Hà
CÂU
NỘI DUNG 
ĐIỂM
I.1
Tập xác định: 
Sự biến thiên: 
Giới hạn và tiệm cận: 
	, tiệm cận ngang: y =-1/2,
 	; tiệm cận đứng: .
0.5
Chiều biến thiên: 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
0.5
I.2
Phương trình hoành độ giao điểm của và : 
Đặt 
0.25
Vì nên có hai nghiệm phân biệt khác với mọi .
0.25
Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi .
0.25
Gọi với là hai nghiệm của . Theo định lý Vi-ét ta có .
0.25
Tiếp tuyến tại có hệ số góc là 
Ta có 
0.5
Dấu bằng xẩy ra 
0.5
II.1
) Giải phương trình:
 Phương trình 
0.5
0.5
0.5
II.2
Điều kiện 
0.5
Xét hàm số . Vậy hàm số đồng biến trên . Từ ta có 
0.25
Thay vào ta được phương trình: 
Phương trình 
0.25
Từ là một nghiệm của hpt. 
0.25
Từ phương trình vô nghiệm do 
0.25
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
0.5
0.5
IV.1
2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của , 
biết (*)
Xét 
đạo hàm 2 vế của (1) ta có
0.5
0.5
Chọn x=1 thay vào (2) ta có
0.5
(*)
Nếu n>10 ta thấy vế trái (3)>vế phải (3) nên n>10 loại
tương tự 0<n<10 loại; n=10 thỏa mãn
0.5
IV.2
Gọi , H là hình chiếu của B trên CD. 
Ta có .
0.5
Đường thẳng AC có dạng: .
Góc giữa AC và BD bằng nên 
Chọn b=1 ta được .
Từ đó suy ra phương trình AC là hoặc .
0.5
V.1
Gọi , ta có .
Ta có . Từ đó tìm được .
0.5
.
0.5
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC. 
Ta có . 
0.5
Góc giữa (SHC) và (ABC) là 
Vậy .
0.5
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là 
Gọi I là hình chiếu của A trên SK .
Ta có .
Trong tam giác vuông SAK, ta có 
0.5
0.5
V.2
Mặt phẳng (P) đi qua A, B, C Phương trình mặt phẳng (P):
0.5
M thuộc (P), suy ra (1)
0.5
Ta có 
Diện tích tam giác ABC là 
0.5
Sử dụng bất đẳng thức Côsi, suy ra 
Mà 
0.5
Vậy 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
 GV : Nguyễn Thị Hà
CÂU
NỘI DUNG 
ĐIỂM
I.1
Tập xác định: 
Sự biến thiên: 
Giới hạn và tiệm cận: 
	, tiệm cận ngang: y =-1/2,
 	; tiệm cận đứng: .
0.5
Chiều biến thiên: 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
0.5
I.2
Phương trình hoành độ giao điểm của và : 
Đặt 
0.25
Vì nên có hai nghiệm phân biệt khác với mọi .
0.25
Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi .
0.25
Gọi với là hai nghiệm của . Theo định lý Vi-ét ta có .
0.25
Tiếp tuyến tại có hệ số góc là 
Ta có 
0.5
Dấu bằng xẩy ra 
0.5
II.1
) Giải phương trình:
 Phương trình 
0.5
0.5
0.5
II.2
Điều kiện 
0.5
Xét hàm số . Vậy hàm số đồng biến trên . Từ ta có 
0.25
Thay vào ta được phương trình: 
Phương trình 
0.25
Từ là một nghiệm của hpt. 
0.25
Từ phương trình vô nghiệm do 
0.25
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
0.5
0.5
IV.1
2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của , 
biết (*)
Xét 
đạo hàm 2 vế của (1) ta có
0.5
0.5
Chọn x=1 thay vào (2) ta có
0.5
(*)
Nếu n>10 ta thấy vế trái (3)>vế phải (3) nên n>10 loại
tương tự 0<n<10 loại; n=10 thỏa mãn
0.5
IV.2
Gọi , H là hình chiếu của B trên CD. 
Ta có .
0.5
Đường thẳng AC có dạng: .
Góc giữa AC và BD bằng nên 
Chọn b=1 ta được .
Từ đó suy ra phương trình AC là hoặc .
0.5
V.1
Gọi , ta có .
Ta có . Từ đó tìm được .
0.5
.
0.5
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC. 
Ta có . 
0.5
Góc giữa (SHC) và (ABC) là 
Vậy .
0.5
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là 
Gọi I là hình chiếu của A trên SK .
Ta có .
Trong tam giác vuông SAK, ta có 
0.5
0.5
V.2
Mặt phẳng (P) đi qua A, B, C Phương trình mặt phẳng (P):
0.5
M thuộc (P), suy ra (1)
0.5
Ta có 
Diện tích tam giác ABC là 
0.5
Sử dụng bất đẳng thức Côsi, suy ra 
Mà 
0.5
Hàm số liên tục trên [-1; 1]
0.5
Trên [-1; 1],
pt vì 
0.5
Ta có 
0.5
Ta có 
Suy ra .
0.5
Xét hàm . Ta có .
Ta có 
Suy ra .
Suy ra nghịch biến trên đoạn . Do đó . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi .
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
 GV : Nguyễn Thị Hà
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
I.1
Tập xác định: 
Sự biến thiên: 
Giới hạn và tiệm cận: 
	, tiệm cận ngang: y =-1/2,
 	; tiệm cận đứng: .
0.5
Chiều biến thiên: 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
0.5
I.2
Phương trình hoành độ giao điểm của và : 
Đặt 
0.5
Vì nên có hai nghiệm phân biệt khác với mọi .
0.5
Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi .
Gọi với là hai nghiệm của . Theo định lý Vi-ét ta có .
0.5
Tiếp tuyến tại có hệ số góc là 
Ta có 
Dấu bằng xẩy ra 
0.5
) Giải phương trình:
II.1
 Phương trình 
0.5
0.5
1
II.2
Điều kiện 
0.5
Xét hàm số . Vậy hàm số đồng biến trên . Từ ta có 
0.25
Thay vào ta được phương trình: 
Phương trình 
0.25
Từ là một nghiệm của hpt. 
0.5
Từ phương trình vô nghiệm do 
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất 
0.5
III.1
Hàm số liên tục trên [-1; 1]
0.5
0.5
Trên [-1; 1],
pt vì 
0.5
Ta có 
0.5
III.2
Ta có 
Suy ra .
0.5
0.5
Xét hàm . Ta có .
Ta có 
Suy ra .
0.5
Suy ra nghịch biến trên đoạn . Do đó . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi .
0.5
IV.1
2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của , 
biết (*)
Xét 
đạo hàm 2 vế của (1) ta có
0.5
0.5
Chọn x=1 thay vào (2) ta có
0.5
(*)
Nếu n>10 ta thấy vế trái (3)>vế phải (3) nên n>10 loại
tương tự 0<n<10 loại; n=10 thỏa mãn
0.5
IV.2
Gọi , H là hình chiếu của B trên CD. 
Ta có .
0.5
0.5
Đường thẳng AC có dạng: .
Góc giữa AC và BD bằng nên 
Chọn b=1 ta được .
Từ đó suy ra phương trình AC là hoặc .
0.5
0.5
V.1
.
0.25
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC. 
Ta có . 
0.25
Góc giữa (SHC) và (ABC) là 
0.25
Vậy .
0.25
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là 
Gọi I là hình chiếu của A trên SK .
Ta có .
Trong tam giác vuông SAK, ta có 
0.25
0.25
Do đó .
Vậy 
0.25
0.25
V.2
Mặt phẳng (P) đi qua A, B, C Phương trình mặt phẳng (P):
0.5
M thuộc (P), suy ra (1)
0.5
Ta có 
Diện tích tam giác ABC là 
0.5
Sử dụng bất đẳng thức Côsi, suy ra 
Mà 
0.5