Đề khảo sát chất lượng đội tuyển HSG cấp huyện môn Toán 7 - Năm học 2020-2021

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN
ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN 7
NĂM HỌC 2020-2021
(Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề)
Ngày khảo sát 30/3/2021
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và .
Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 . 
Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.
Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: (x là ẩn; a, b, c là hệ số). 
Biết rằng: , , . Tính . 
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x là số nguyên).
Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c
Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA=2cm, MB=3cm và . Tính MC. 
Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3;...; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
-------------HẾT------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: .................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: .......
PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN 7
NĂM HỌC 2020-2021
Ngày khảo sát 30/3/2021
Hướng dẫn chung:
- Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
- Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó.
Câu
Nội dung
Điểm
1
= 
 ==
 = = = 
0,5
0,5
0,5
0,5
2
Từ ta suy ra: 
Suy ra: ( Vì x, y, z cùng dấu)
KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)
0,5
0,5
0,5
0,5
3
Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2018 0 với mọi x, y nên
(x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y. 
Mà theo đề bài : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0
Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0 
Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0 
suy ra x = 2, y = 
Khi đó tính được: M = 24.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
4
Từ: 
 Suy ra : 
 (*)
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d) 
 = -4
Nếu a + b + c + d 0 thì từ (*) a = b = c = d 
 = 4
KL: ......
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Xét x =0: 
Xét x =1: (1)
Xét x =-1: (2)
Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0 
Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1
Từ đó tìm được 
Suy ra: 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
6
Ta có: Q == 2+. 
Suy ra Q lớn nhất khi lớn nhất
* Nếu x > 12 thì .
* Nếu x < 12 thì . 
Từ 2 trường hợp trên suy ra lớn nhất khi 12-x>0
Vì phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất. 
Hay 
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11
0,25
0,25
0,25
0,25
 0,25
0,25
0,25
0,25
7
Do a Î Z+ 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c
Vậy 5b > 5c b>c 5b 5c
Hay (a3 + 3a2 + 5) (a+3)
 a2 (a+3) + 5 a + 3
Mà a2 (a+3) a + 3 5 a + 3
 a + 3 Î Ư (5)
Hay: a+ 3 Î { ± 1 ; ± 5 } (1)
Do a Î Z+ a + 3 ³ 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5 a =2
Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52 b = 2
 Và 5c =a + 3 = 2+3= 5 c = 1
Vậy: 	a = 2; b = 2; c = 1	
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
8
- Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì 
- BK là đường cao của tam giác cân BMO nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1)
- Chứng minh 
- Suy ra BH=OK (2)
- Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
9
- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A
 (D, B khác phía đối với AM)
- Chứng minh vì:
 AD=AM ( vuông cân tại A)
 (cùng phụ với 
 AB=AC (giả thiết)
- Suy ra: CD=BM=3cm
- Tính được MD2=AD2+AM2 = 8
- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M
- Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1
 =>CD=1cm
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
10
- Xét 100 số 101; 102; 103; ....; 200. Trong 100 số này rõ ràng không có số nào là bội của số kia (vì 101.2>200). 
 Do đó k101 (1)
- Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: .
Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng:
Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ()
Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ...;199}. 
Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng nhau.
Suy ra trong hai số và sẽ có một số là bội của số còn lại. 
Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số kia (2)
Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
----------Hết---------