Đề đè xuất trại hè Hùng Vương năm học 2014 - 2015. Môn: Toán – Lớp 10. Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
ĐỀ ĐÈ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG 
NĂM HỌC 2014-2015.
Môn: TOÁN – LÓP 10.
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề
Câu 1 (4 điểm) Giải bất phương trình trên tập số thực
.
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong tam giác sao cho > và . Giả sử BM và CM lần lượt cắt AC và AB tại P, Q, chứng minh rằng BP < CQ.
Câu 3 (4 điểm) Cho là một số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi mà không có 2 số nào cùng bằng 0, ta có 
Câu 4 (4 điểm) Cho là một số nguyên dương và các số nhận các giá trị là 0 hoặc 1. Đặt và gọi lần lượt là số các bộ số sao cho là số lẻ và số chẵn. Chứng minh rằng .
Câu 5 ( 4 điểm) Cho các số nguyên dương thỏa mãn và . Chứng minh rằng và .
----------------- Hết -----------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HẠ LONG.
ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG 
Năm học 2014-2015
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
 Câu 1
(4 điểm)
Điều kiện có nghĩa: .
Bất phương trình đã cho tương đương với 
1,0
1,0
Giải bất phương trình bậc 2 với ẩn , ta được 
1,0
Giải hệ bất phương trình này ta có 
Kết hợp lại ta được nghiệm của bất phương trình là 
1,0
 Câu 2
(4điểm)
0,5
Vì nên ta có thể lấy điểm thuộc đoạn sao cho . Ta có
1,0
Mặt khác dễ thấy là 
Từ đó suy ra . Khi đó, ta có
1,5
Rõ là tứ giác nội tiếp đường tròn. Ta gọi là bán kính của đường tròn này, thì theo định lí sin, ta sẽ có và . Từ đây suy ra 
. Vậy ta có điều phải chứng minh.
1,0
Câu 3
(4điểm)
Chứng minh bằng phản chứng
Giả sử tồn tại 3 số sao cho bất đẳng thức đã cho không đúng. Vì bất đẳng thức là thuần nhất nên ta giả sử . Khi đó
1,0
Đặt , ta được và 
1,0
Dễ dàng chứng minh được . Do đó, ta có
1,0
Chú ý là , suy ra 
Hay . Do đó, ta có
Điều này là vô lí ! 
1,0
Câu 4
(4điểm)
Ta có . Xét các bộ mà có là số lẻ. Xảy ra các trường hợp sau
Nếu là số lẻ, thì và là số chẵn. Trường hợp này bằng cách bỏ đi và ta được một bộ số có tổng là số chẵn.
Nếu là số chẵn, thì và là một số lẻ. Bằng cách bỏ đi và ta được một bộ số có tổng là số lẻ.
1,0
Từ đây suy ra . Lập luận tương tự, ta cũng có . Ta có
1,0
Đặt , ta có hay 
1,0
Lại đặt tiếp , sẽ được 
Dễ dàng tính được . Từ đây ta sẽ có và do đó, .
1,0
Câu 5
(4điểm)
Từ giả thiết ta thấy . Hơn nữa, từ giả thiết ta có
 , với số nguyên dương nào đó.
1,0
Xét tất cả các số nguyên dương để phương trình (*) có nghiệm nguyên dương . Gọi là nghiệm có tổng nhỏ nhất và giả sử . Vì phương trình có nghiệm là nên theo định lí Viete, nó phải có thêm nghiệm nữa là thỏa mãn
1,0
Từ (1) và (2) suy ra là một số nguyên dương. Do đó, cặp cũng là nghiệm của phương trình (*). Vì thế, ta có . Từ đây ta thấy , vì nếu , thì 
Điều này là vô lí, do . Từ sự kiện , ta suy ra
Rõ ràng . Vậy .
1,0
Như vậy, ta phải có . Từ đây suy ra 
 hay 
1,0
Người ra đề: Phạm Xuân Thịnh
 Số điện thoại: 0904 165 336
Email: phamxthinh@gmail.com