Đề - Đáp án HSG Toán 7 - Huyện Hoằng Hoá: 2011 – 2012

ĐỀ - ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 - HUYỆN HOẰNG HOÁ : 2011 – 2012
Bài 1 (4.0 điểm ) : 
a/ Cho biểu thức M = a + 2ab – b . Tính giá trị của M biết và b = - 0,75
b/ Xác định dấu của c, biết 2a3bc trái dấu với -3a5b3c2
Đáp án :
a/ Vì => a = ± 1,5
Với : a = 1,5 và b = -0,75 => M = 1,5 + 2.1,5.(-0,75) – (-0,75) = 1,5 - 2,25 + 0,75 = 0
Với : a = -1,5 và b = -0,75 => M = -1,5 + 2.(-1,5).(-0,75) – (-0,75) = -1,5 + 2,25 + 0,75 = 1,5
b/ Vì 2a3bc trái dấu với -3a5b3c2 => 2a3bc(-3a5b3c2) = -6a8b4c3 < 0
=> 6a8b4c2.(-c) -c c > 0
Bài 2 (4.0 điểm)
a/ Tìm các số x, y, z biết rằng : ; và 2x – 3y + z = 6
b/ Cho dãy tỷ số bằng nhau : 
Tính giá trị biểu thức 
Đáp án
; => 
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có
=>
=> x = 27 ; y = 36 ; z = 60
b/ Nếu a + b + c + d = 0
=> => 
Nếu a + b + c + d ¹ 0
Từ 
=> 
=> 
=> a = b = c = d => 
Bài 3(3.0 điểm) : Cho hàm số y = f(x) = 2 – x2
a/ Hãy tính : 
b/ Chứng minh f(x – 1) = f(1 – x)
Đáp án
a/ ; 
b/ Ta có : f(x -1) = 2 – (x – 1)2 = 2 – (x – 1)(x - 1) = 2 – (x2 – x – x + 1) = -x2 + 2x + 1
f(1 - x) = 2 – (1 – x)2 = 2 – (1 – x)(1 - x) = 2 – (1 – x – x + x2) = -x2 + 2x + 1
=> f(x – 1) = f(1 – x) (ĐPCM)
Bài 4 (4.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A đường trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB và AC. Chúng cắt d theo thứ tự ở D và F. Chứng minh rằng
a/ BD//CE
b/ BD = DE + CE
Đáp án
Kéo dài AM, lấy điểm A’ sao cho MA = MA’
Dễ thấy : DAMB = DA’MC(c.g.c) => AB = CA’ (1)
 mà BA ^ AC => CA’^AC =>(2)
AC là cạnh chung của hai tam giác ABC v à A’CA (3)
Từ (1) , (2) và (3) => DBAC = DA’CA (c.g.c)=> BC = AA’=> MA = MA’=MB=MC
DMAB cân tại M=> đường cao MD là đường trung trực của của AB => DA = DB (I)
DMAC cân tại M=> đường cao ME là đường trung trực của của AC => EA = EC (II)
Từ(I) và (II) => DA + EA = DB + EC Hay DE = DB + CE (ĐPCM)
DDAB cân tại D=> đường cao DM là đường phân giác
=> (I’)
DEAC cân tại E => đường cao EM là đường phân giác
=> (II’)
Từ (I’) và (II’) => 
Mà hai góc trên ở vị trí trong cùng phía => BD//CE(ĐPCM)
Bài 5 (3.0 điểm) : Tìm tỷ số của A và B biết rằng
Ta có
=> 
Bài 6 (2.0 điểm) : Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho CD = 2BD.Chứng minh .
Lấy M là trung điểm CD, trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA
Ta có (Góc ngoài của DABD) => => AB > AD => AC > AD (1)
Dễ thấy DADB = DAMC(c.g.c) => (2)
Dễ thấy DAMD = DEMC(c.g.c) => v à AD = CE (3)
Xét tam giác ACE có CE = AD (4)
Từ (1), (2) và (3) và (4) ta có
 (ĐPCM)
------------------------------------------ Kết thúc ------------------------------------------
GV : Nguyễn Đức Tính – 08 Bào Ngoại – Đông Hương TP Thanh Hoá