Đề cương ôn thi thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 - Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Biên soạn và sưu tầm: Ngô Văn Khánh – GV trường THPT Nguyễn Văn Cừ
1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến
1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm 
 * Tính ; tính (hệ số góc của tiếp tuyến) 
 * Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình 
 với 
Ví dụ 1: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
Tại điểm A (-1; 7).
Tại điểm có hoành độ x = 2.
Tại điểm có tung độ y =5.
Giải: 
 	a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có dạng: 
Ta có .
Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: hay y = 7.
 	b) Từ .
y’(2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là: 
c) Ta có: 
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5).
Ta có y’(0) = -3. 
Do đó phương trình tiếp tuyến là: hay y = -3x +5.
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm .
Do đó phương trình tiếp tuyến là: hay .
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại là: .
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số . 
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
 c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0. 
Giải:
	Ta có . Gọi là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:
	a) Khi thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình: 
 ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 
	b) Khi thì x0 = 0 và , thay các giá trị đã 
biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: .
	c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4.
 y” = 0 ; 
Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 
Ví dụ 3: Cho hàm số (C)
 a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2.
 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N.
Giải
a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ 
Ta có 
Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 
Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 
b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N
Xét phương trình 
Vậy là điểm cần tìm
Ví dụ 4: Cho hàm số và điểm (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hoành độ điểm B theo 
Lời giải:
 Vì điểm (C) , 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng: 
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
Vậy điểm B có hoành độ hoctoancapba.com
Ví dụ 5: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ thỏa mãn và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải
Ta có 
Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc 
Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có phương trình 
suy ra hay 
Tiếp tuyến d có hệ số góc -1
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc 
Dấu “=” xảy ra nên tọa độ tiếp điểm trùng với 
Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hệ số góc nhỏ nhất.
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): tại các giao điểm của (C) với đường thẳng (d): .
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 
 (x = 1 không phải là nghiệm phương trình)
Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4)
+ Ta có: .
+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: 
+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: 
Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: và .
Ví dụ 7: Cho hàm số (Cm).Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Giải
Ta có 
Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có 
Khi ta có hàm số ta có thì 
Phương trình tiếp tuyến có dạng 
Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 8: Cho hàm số (1).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
Giải
Với M(1 ; m – 2)
- Tiếp tuyến tại M là d: 
 d: y = -3x + m + 2.
- d cắt trục Ox tại A: 
- d cắt trục Oy tại B: 
- 
Vậy m = 1 và m = - 5
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số (C) khi biết trước hệ số góc của nó 
+ Gọi là tiếp điểm, giải phương trình , 
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: 
Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com
*) Cho trực tiếp: 
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc , với Khi đó hệ số góc k = .
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b.
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc . Khi đó, .
Ví dụ 9: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải:
Ta có: 
Gọi là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M có hệ số góc 
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 
Vì .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 
Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Giải:
Ta có: 
Gọi là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M có hệ số góc 
Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6 tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: (loại)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: 
Ví dụ 11: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng .
Giải: 
 	Ta có . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
 Do đó 
+) Với x = 2 . Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là: 
+) Với . Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là: 
.
 Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đường thẳng là: 
 y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Ví dụ 12: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): .
Giải:
	(d) có phương trình: nên (d) có hệ số góc là -.
Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì .
Ta có: nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: 
Vậy tiếp điểm M có tọa độ là 
Tiếp tuyến có phương trình: 
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: . 
Ví dụ 13: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ.
Giải
Ta có: 
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là: 
Khi đó gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có 
Với thì lúc đó tiếp tuyến có dạng (trường hợp này loại vì tiếp tuyến đi qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)
Với thì lúc đó tiếp tuyến có dạng 
Vậy tiếp tuyến cần tìm là 
Ví dụ 14: Cho hàm số y = có đồ thị (C).
 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Giải
 	Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho .
Do DOAB vuông tại O nên Þ Hệ số góc của d bằng hoặc .
Hệ số góc của d là Û 
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: .
1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm 
	Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm .
Cách giải
	+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: , (với x0 là hoành độ tiếp điểm).
	+ Tiếp tuyến qua nên 
 + Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
Giải:
	Ta có: 
Gọi M là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là : 
 qua A(-2;-1) nên ta có: 
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 
1.4. Dạng 4. Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao.
Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .
Giải:
Gọi là hai điểm phân biệt trên (C).
Ta có: nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:
 .
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi: 
, thay a = -b ta được:
Với 
Với 
Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: 
Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .
Giải:
Hàm số được viết lại: 
Gọi là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với điều kiện: .
Ta có: nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là: 
Tiếp tuyến tại A và B song song khi: 
 (1) (do )
 ( do thay a ở (1) )
Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: 
Ví dụ 18: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là: 
	x3 + 3x2 + mx + 1 = 1	Û	x(x2 + 3x + m) = 0 Û 
* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:
Û Phương trình (2) có 2 nghiệm xD, xE ¹ 0.
Û	
Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
	kD = y’(xD) = 
	kE = y’(xE) = 
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1.
Û	(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
Û	9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t).
Û	4m2 – 9m + 1 = 0 Û m = 
ĐS: m = 
Ví dụ 19: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: , biết rằng khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải:
	Gọi là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M.
Ta có: 
Vậy 
.
Ta có: 
. Vậy lớn nhất khi = 4
. Cả hai giá trị đều thỏa mãn 
+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 
+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 
Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 
Ví dụ 20: Cho (C) là đồ thị hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân tại gốc tọa độ O.
Giải:
	Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các đường thẳng y = x hoặc y = -x.
Ta có: nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: 
Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x
Do đó, ; ( không là nghiệm phương trình)
. Vậy có hai tiếp điểm là: .
+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d
+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 
Ví dụ 21: Cho hàm số .
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	b) Cho điểm thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Giải
Tự làm 
 Î (C) Þ . 
Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0: 
Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: .
	Þ Þ M0 là trung điểm AB.
Ví dụ 22: Cho hàm số: (C) 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
Giải
Tự làm 
 Giả sử M Î (C). 
PTTT (d) của (C) tại M: Û 
Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: , .
	 ; 
Diện tích : S= = 6 (đvdt) ĐPCM.
Ví dụ 23: Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải
 	Giả sử , 
Phương trình tiếp tuyến (D) với (C) tại M: 
Tọa độ giao điểm A, B của (D) với hai tiệm cận là: 
Ta thấy , suy ra M là trung điểm của AB.
Mặt khác I(2; 2) và DIAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 
	S = 
Dấu “=” xảy ra khi 
Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3)
Ví dụ 24: Cho hàm số . Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Giải.
Nếu thì tiếp tuyến tại M có phương trình hay 
 Khoảng cách từ tới tiếp tuyến là . 
Theo bất đẳng thức Côsi , vây . 
Khoảng cách d lớn nhất bằng khi 
.
Vậy có hai điểm M: hoặc 
Ví dụ 25: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(-4; -2).
Giải	
	Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (). 
PTTT (d) là Û 
Ta có: Û 
	Û 
Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: 
Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả năng: Tiếp tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB
Ví dụ 26: Cho hàm số tìm điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 
Giải:
Gọi , 
Tiếp tuyến tại M có dạng: 
Gọi tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
Gọi tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 
Tam giác OAB vuông tại O ; OA = ; OB =   
Diện tích tam giác OAB: 
 S = OA.OB = 
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: 
Bài tập tự luyện 
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 
Cho hàm số , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Cho hàm số . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 
Cho hàm số: (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: 
Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số . Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 3).
Cho hàm số: y = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(-6,5) 
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ điểm 
Cho hàm số có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) 
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất
Cho hàm số: . CMR: 
	a) Nếu tiếp tuyến của đths cắt hai đường tiệm cận tại A và B thì tiếp điểm là trung điểm của AB.
 	b) Mọi tiếp tuyến của đồ thị đều tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện 
tích không đổi. 
 	c) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Cho hàm số .Tìm m để tiếp tuyến của tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Cho hàm số: 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	b) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.
2. Chủ đề 2: Cực trị của hàm số.
2.1. Kiến thức cơ bản
2.1.1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số: 
QUY TẮC I
QUY TẮC II
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính . Xác định các điểm tới hạn.
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính . Giải phương trình và kí hiệu () là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính và . Kết luận
2.1.2. Sự tồn tại cực trị
 	a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0:
 hoặc 
 b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0:
 hoặc 
 c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0:
 hoặc 
 d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):
 y’= 0 có hai nghiệm phân biệt 
 e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 2.1.3. Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: 
Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
Biễu diễn điều kiện của bài toán qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ đó đưa ra điều kiện của tham số. 
2.2. Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số . 
Giải
Cách 1.
* Tập xác định:R.
Ta có: .
* Bảng biến thiên: 
x
 – 1 2 
y’
 + 0 – 0 +
y
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCĐ 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT.
Cách 2. (Sử dụng quy tắc 2)
* Tập xác định:.
Ta có: .
* nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại 
yCĐ
* nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu .
Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) b) 
 (?) Ta thấy hàm số này rất khó xét dấu của y’, do đó hãy sử dụng quy tắc 2 để tìm cực trị?
Giải
a) TXĐ: D=R
* 
* 
Ta có 
Hàm số đạt cực tiểu tại:
Hàm số đạt cực tiểu tại: 
b) TXĐ: D=R.
* 
* 
Ta có:
+ 
+ 
Vậy hàm số đạt cực đại tại 
Hàm số đạt cực tiểu tại 
* Giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ thế mạnh của việc sử dụng quy tắc 1 và quy tắc 2.
	Chú ý: Quy tắc 1 có ưu điểm là chỉ cần tính đạo hàm cấp một rồi xét dấu y’ và lập bảng xét dấu y’, từ đó suy ra các điểm cực trị. Nhưng quy tắc 1 có nhược điểm là nó đòi hỏi phải xét dấu y’, điều này không phải bao giờ cũng đơn giản. 
Nếu bài toán không yêu cầu tìm điểm cực trị thì quy tắc 1 là hơi thừa, khi đó ta sử dụng quy tắc 2. Song quy tắc 2 cũng có nhược điểm là nhiều khi việc tính y” là rất phức tạp, đặc biệt khi không sử dụng được trong trường hợp ==0.
	Quy tắc 1 thường được dùng cho các hàm đa thức, hàm phân thức và tích các lũy thừa. Quy tắc 2 thường được sử dụng cho các hàm lượng giác.	
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số: đạt cực tiểu tại x = -2.
Giải: 
 Þ 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì 
Ví dụ 4: Cho hàm số: , với m là tham số thực.Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
Giải
- Ta có 
- Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2. PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2. 
 có hai nghiệm phân biệt là .
Theo đề ta có: 
Theo định lý Viet ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là: hoặc 
Ví dụ 5: Cho hàm số , m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.
Giải
+ Khi m = 0 , nên hàm số không có cực trị.
+ Khi 
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
Vậy là gtct
Ví dụ 6: Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Giải
	 .
(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT có 2 nghiệm trái dấu Û Û .
Ví dụ 7: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn .
Giải: 
Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û Û (*)
Với điều kiện (*) thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: 
Ta có: 
Cả 2 giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*). Vậy 
Ví dụ 8. Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Giải
Ta có: y’ = 3x2 - 6mx = 0 Û 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0.
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ 
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 
Giải hệ phương trình ta được ; m = 0
Kết hợp với điều kiện ta có: 
Ví dụ 9. Cho hàm số (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
Giải	
	Ta có 
Hàm số (1) có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt
	 có 2 nhiệm phân biệt 
Khi đó, điểm cực đại và điểm cực tiểu 
Ta có .
Ví dụ 10. Cho hàm số (1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
Giải 
Ta có: 
Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị. Gọi ba điểm cực trị là: 
. Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, thì đỉnh sẽ là A.
Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC.
Tam giác ABC vuông khi: 
Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 11. Cho hàm số (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
Giải
+) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 0  ; ĐK có 3 điểm cực trị: m 0
+) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ; 
+) CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4).
+) (tm)
Ví dụ 12. Cho hàm số (1). Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.
Giải
Ta có 
Hàm số có 3 cực trị y’ đổi dấu 3 lần 
phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt m > 0
Khi m > 0, đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 
Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung.
Đặt I(0 ; y0). Ta có: IC = R 
hoặc 
* Với 
IA = R 
So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m = 
* Với I(0 ; 2) 
IA = R (*)
Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0
Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m = 
Ví dụ 13. Cho hàm số (1), với là tham số thực. Xác định để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng .
Giải 
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị pt có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó 
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
; 
Bài tập tự luyện 
Cho hàm số .
	a) Tìm để hàm số có cực trị.
	b) Tìm để hàm số có hai cực trị trên .
	c) Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
d) Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành
Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực đại tại.
Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho: 
Tìm tất cả các giá trị của để hàm số có cực đại tại xCĐ cực tiểu tại sao cho xCĐ, là độ dài các cạnh góc vuông tại một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng .
Xác định để hàm số đạt cực trị tại sao cho .
Xác định để hàm số đạt cực trị tại sao cho .
Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường.
Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Cho hàm số (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho .
Cho hàm số (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Gọi lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. 
Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x.
Cho hàm số: (1), m là tham sốTìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
Cho hàm số Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số.Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT.
Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Cho hàm số (m là tham số)Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 
Cho hàm số (1), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
b) Tìm để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là thỏa mãn .
Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1.
Tìm để hàm số có 3 điểm cực trị.
Tìm m để đồ thị hàm số y = -x4 +2(m+2)x2 –2m –3 chỉ có cực đại, không có cực tiểu.
Tìm để (C): có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.
Cho hàm số (1), m là tham số.
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
	b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Cho hàm số có đồ thị . (là tham số thực)
Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị nằm trên các trục tọa độ.
Cho hàm số , m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1
Cho hàm số (1), m là tham số.
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi .
 b) Tìm m để ĐTHS (1) có ba điểm cực trị nằm trên một đường tròn có bán kính bằng 1.
Cho hàm số có đồ thị 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	 b) Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
Cho hàm số Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị sao cho các điểm và điểm nằm trên một đường tròn, trong đó là gốc tọa độ.
Cho hàm số , m là tham số thực.
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	b) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 32.
Cho hàm số có đồ thị .Tìm các giá trị thực của tham số để đồ thị có ba điểm cực trị nằm trên đường tròn có bán kính bằng 1.
Cho hàm số , với là tham số. Tìm để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa độ.
Cho hàm số 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1.
	b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
3. Chủ đề 3: Bài toán tương giao
3.1. Kiến thức cơ bản
3.1.1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
	f(x, m) = g(x,m) (1).
F Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
3.1.2. Bài toán cơ bản:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1)
Chú ý: 
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có Dạng: y – y0 = k(x – x0).
+ Khai thác tọa độ giao điểm (của (C) và d, ta cần chú ý:là nghiệm của (1);M thuộc d nên 
+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
F Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Cho phương trình: .
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ (p, q)=1 thì và .
F Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.
3.2. Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1. Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
 b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Giải
a)
TXĐ: D = R.
Giới hạn: 
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên và .
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1.
Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
b)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m – 1.
Vậy
: Phương trình có 1 nghiệm.
: Phương trình có 2 nghiệm.
: Phương trình có 3 nghiệm.
: Phương trình có 2 nghiệm.
: Phương trình có 1 nghiệm.
Ví dụ 2.Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
a)
	Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:
b)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1.
Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Giải
a) HS tự trình bày.
b)
Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xét phương trình: 
	Có 
Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 4.Cho hàm số .Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Giải
Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là:
 y = k(x+1) = kx+ k.
Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + k 
x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0 (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0
 có ba nghiệm phân biệt g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 1
Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0. 
Gọi với là hai nghiệm của phương trình: . Còn . 
Ta có: 
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: 
Vậy theo giả thiết: 
Ví dụ 5. Cho hàm số Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1.. 
Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
Gọi . Với: là hai nghiệm của phương trình (1) 
Ta có .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:
Theo giả thiết: 
Vậy: 
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 6. Cho hàm số (1). Tìm m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ).
Giải
Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A, B, C có hoành độ là nghiệm của phương trình:
Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4), còn hai điểm B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình: 
- Ta có 
-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d. h là khoảng cách từ M đến d thì:
- Theo giả thiết: S = 4 
Kết luận: với m thỏa mãn: (chọn).
Ví dụ 7. Cho hàm số . Xác định để đồ thị cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox có diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục Ox.
Giải
 Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt