Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 8 - Chuyên đề 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

 Trang 1 
CHUYÊN ĐỀ 3 
PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
BÀI 2. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA ĐƢỢC VỀ DẠNG 0 ax b 
Mục tiêu 
 Kiến thức 
+ Trình bày được các bước giải và vận dụng thành thạo giải phương trình đưa được về dạng 
0ax b  . 
 Kỹ năng 
+ Biết cách sử dụng một số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng đúng chỗ, đúng lúc kí 
hiệu tương đương '' " . 
+ Biết cách sử dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân vào giải phương trình, chứng minh phương 
trình tương đương, rèn kỹ năng giải phương trình, trình bày bài giải. 
 Trang 2 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ DẠNG 0 ax b 
Bƣớc 1: Quy đồng mẫu (nếu có). 
Bƣớc 2: Khử mẫu. 
Bƣớc 3: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, 
các hằng số sang một vế. 
Bƣớc 4: Thu gọn và giải phương trình. 
Bƣớc 5: Kết luận 
Ví dụ: 
   
5 2 2 1
1
3 2
2 5 2 6 3 2 1
6 6
10 4 9 6
10 6 9 4
4 13
13
.
4
x x
x x
x x
x
x
x
 
 
  
 
   
   
 
 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
13
4
S
 
  
 
. 
Chú ý: 1) Trong các bước trên, chúng ta sử dụng linh hoạt các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với một số. 
2) Trong một vài trường hợp, để đưa phương trình về dạng 0ax b  , ta có những cách giải khác đơn 
giản hơn. 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Giải một số phƣơng trình đơn giản 
Bài toán 1. Sử dụng bỏ ngoặc, chuyển vế, quy đồng mẫu đơn giản 
 Phƣơng pháp giải 
Bƣớc 1: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc 
hoặc quy đồng mẫu thức hai vế, dùng quy tắc 
nhân để khử mẫu thức (nhân hai vế cho cùng mẫu 
thức để khử mẫu thức). 
Bƣớc 2: Dùng quy tắc chuyển vế để chuyển hạng 
tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia. 
Bƣớc 3: Thu gọn và giải phương trình. 
Ví dụ: Giải phương trình 
     3 11 3 1 2 2 5
4 5 10
x x x  
  . 
Hƣớng dẫn giải 
     5.3 11 4.3 1 2.2 2 5
20 20
15 165 12 12 8 20
15 12 8 165 12 20
11 197
197
.
11
x x x
x x x
x x x
x
x
   
 
     
     
 
 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
197
11
S
 
  
 
. 
 Trang 3 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Giải các phƣơng trình 
a)  4,3 2 0,7 2 4,6 1,7 .x x x    
b) 
2 1 3
1
3 5
x x 
  . 
c) 
2 13
3 7 .
5 5
x x
   
      
   
d)      21 1 2 1 1x x x x x x x       . 
Hướng dẫn giải 
a)  4,3 2 0,7 2 4,6 1,7x x x    
4,3 1,4 4 4,6 1,7x x x     
4,3 1,7 4 4,6 1,4    x x x 
2 6x  
3x  . 
Phương trình có tập nghiệm là  3 .S  
b) 
2 1 3
1
3 5
x x 
  
   5 2 15 3 1 3
15 15
x x  
  
5 10 15 3 9x x     
5 9 10 15 3x x     
4 22x   
11
2
x   . 
Phương trình có tập nghiệm là 
11
.
2
S
 
  
 
c) 
2 13
3 7
5 5
x x
   
      
   
6 13
3 7
5 5
x x     
13 6
3 7
5 5
x x     
35 13 6
4
5
x
 
  
16
4
5
x  
4
5
x  . 
 Trang 4 
Phương trình có tập nghiệm là 
4
.
5
S
 
  
 
d)      21 1 2 1 1x x x x x x x       
 3 21 2 1x x x x     
3 31 2x x x x     
3 3 2 1x x x x      
1x    
1x  . 
Phương trình có tập nghiệm là  1 .S  
Bài toán 2: Giải một số phƣơng trình đặc biệt 
 Phƣơng pháp giải 
a) Đối với phương trình (ẩn x ) có dạng: 
x a x c x e x g
b d f h
   
   
- Nếu ,a b c d e f g h k        ta cộng mỗi 
phân thức thêm 1. 
- Nếu ,a b c d e f g h k        ta cộng mỗi 
phân thức thêm -1. 
Sau đó quy đồng từng phân thức, chuyển vế và 
nhóm nhân tử chung. 
Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài 
toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích hợp. 
b) Đánh giá: 
Phương trình có dạng     0A x B x  , trong đó: 
  0A x  và   0B x  . 
Ví dụ: Giải phương trình 
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x   
   . 
Hƣớng dẫn giải 
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x   
   
1 2 3 4
1 1 1 1
2011 2010 2009 2008
x x x x   
        
1 2011 2 2010
2011 2010
x x   
  
3 2009 4 2008
2009 2008
x x   
  
2012 2012 2012 2012
0
2011 2010 2009 2008
x x x x   
     
 
1 1 1 1
2012 0
2011 2010 2009 2008
x
 
      
 
2012 0x   
2012.x  
Phương trình có tập nghiệm là  2012 .S  
Ví dụ: Giải phương trình 4 2 8 0.x x    
 Trang 5 
Khi đó phương trình trở thành 
 
 
0
.
0
A x
B x



 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Giải các phƣơng trình sau 
a) 
5 4 3 2
.
2016 2017 2018 2019
   
  
x x x x
b) 
12 10 8 6
.
21 23 25 27
x x x x   
   
c) 
19 13 7 1
3 5 7 9
x x x x   
   . 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Bài tập cơ bản 
Câu 1: Giải phương trình 
a) 
   2 3 1 1 2 3 1 3 2
5 .
4 5 10
x x x   
   
b) 
   3 1 3 2 12 1 5 12
.
3 4 6 12
x x xx x   
   
c) 
4 3 2 2 5 7 2
.
5 10 3 6
x x x x
x
   
    
d)     2 2 22 2 8 2 2 2 4 .x x x x x x      
e)       
2
3 4 2 3 2 4 .x x x x      
Bài tập nâng cao 
Câu 2: Giải các phương trình sau 
a) 
81 82 84 85
.
19 18 16 15
x x x x   
   
b) 
12 13 15 16
4.
7 6 4 3
x x x x   
     
c) 
4 6 2 4
.
8 7 11 12
x x x x   
   
d) 
3 2 1 2
10 0.
7 4 3 2
x x x x   
     
Câu 3: Giải phương trình 
a) 
2 4 4 2 0.x x x     
b) 22 10 13 0.x x   
Dạng 2: Một số ứng dụng của phƣơng trình 
Bài toàn 1. Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn ở mẫu xác định 
 Trang 6 
 Phƣơng pháp giải 
Bƣớc 1. Liệt kê tất cả các mẫu thức có chứa ẩn của 
biểu thức và đặt điều kiện khác không. 
Bƣớc 2. Lần lượt giải từng điều kiện trên thì tập 
hợp tất cả các giá trị của ẩn làm cho các mẫu thức 
khác không chính là điều kiện để biểu thức chứa ẩn 
ở mẫu xác định. 
Ví dụ: Tìm điều kiện của x để giá trị của phân 
thức được xác định 
   
2 2019
.
2 3 1 3 1
x
P
x x


  
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của x để giá trị của mỗi biểu thức sau được xác định 
a) 
   
3 5
.
6 1 2 2 1
x
A
x x


  
b) 
   
2019 2020
.
1, 2 0,7 4 0,6 0,9
x
B
x x


  
c) 
   
2 3 6 1
.
1 2 1 3 5 2
x x
C
x x x
 
 
   
Bài toán 2. Bài toán viết phƣơng trình 
 Phƣơng pháp giải 
Bƣớc 1. Chọn ẩn và đặt điều kiện của ẩn. 
Bƣớc 2. Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn. 
Bƣớc 3. Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập 
phương trình. 
Bƣớc 4. Giải phương trình và chọn kết quả thích 
hợp để trả lời. 
Ví dụ. Viết phương trình ẩn x rồi tính x (mét) trong 
hình dưới đây ( S là diện tích của hình). 
 Trang 7 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Viết phương trình ẩn x rồi tính x (mét) trong hình dưới đây ( S là diện tích của hình). 
Ví dụ 2. Năm nay, tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của Nam. Nam tính rằng 16 năm nữa thì tuổi của bố chỉ còn gấp 
2 lần tuổi của em. Viết phương trình biểu thị tuổi của bố theo tuổi của Nam và tính số tuổi của Nam. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Tìm điều kiện của x để mỗi biểu thức sau được xác định 
a) 
   
2019 2020
.
5 3 1 2 4 3
x
x x

  
b) 
     
2 5 6 1
.
1,5 3 2,5 3 5 3 2 3 4 1
x x
x x x x
 

     
 c) 
 
2 1 4 9
.
1 2 5 3 1 3
x x
x x x
 

   
Câu 2: Viết phương trình ẩn x rồi tính x (mét) trong mỗi hình dưới đây ( S là diện tích của hình). 
Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số m để phƣơng trình có nghiệm x a . 
 Phƣơng pháp giải 
Bƣớc 1. Thay x a vào phương trình. Khi đó ta 
được phương trình mới với m là ẩn số. 
Bƣớc 2. Giải phương trình với ẩn là m . Giá trị 
của m tìm được chính là điều kiện của tham số m 
để phương trình có nghiệm x a . 
Chú ý: Đối với bài toán yêu cầu tìm m để 
phương trình chỉ có nghiệm x a hoặc tìm m để 
hai phương trình là tương đương, sau khi tìm được 
Ví dụ. Tìm giá trị của m sao cho phương trình 
    2 1 3 5 2 4 3 74x x m x      có nghiệm 
1x  . 
Hƣớng dẫn giải 
Thay 1x  vào phương trình ta được 
 Trang 8 
m ta đem m thay vào phương trình để kiểm tra lại 
xem ngoài x a thì phương trình còn nghiệm nào 
khác hay không. 
    
 
 
 
2.1 1 3.1 5 2 4 1 3 74
3 5 5 16 74
3 5 5 74 16
3 5 5 90
5 5 30
5 30 5
5.
m
m
m
m
m
m
m
     
   
   
  
  
  
 
Vậy với 5m  thì phương trình có nghiệm 1x  . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm giá trị của m sao cho 
a) Phương trình     2 1 9 2 5 2 40x x m x     có nghiệm 2x  . 
b) Phương trình 2 4 4 0mx x   có nghiệm 1x  . 
Hướng dẫn giải 
a) Thay 2x  vào phương trình ta có 
    2.2 1 9.2 2 5 2 2 40m      5 18 2 20 40m    
 18 2 12m   
 2 6m  
 3.m  
b) Thay 1x  vào phương trình ta có: 2.1 4.1 4 0 8.m m     
Thử lại: 
Thay 8m  vào phương trình ta có: 
2 2 28 4 4 0 2 1 0 2 2 1 0x x x x x x x            
  2 1 1 0x x x     
   1 2 1 0x x    
Với 1 0 1.x x    
Với 
1
2 1 0 .
2
x x     
Như vậy ngoài nghiệm 1x  thì phương trình còn một nghiệm nữa là 
1
2
x   . 
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình chỉ có nghiệm 1x  . 
Ví dụ 2. Tìm m để hai phương trình sau tương đương   22 1 4 5 0x x x    và 2 55 3 10
2
x m m m    . 
 Hướng dẫn giải 
 Giải phương trình   22 1 4 5 0x x x    . Khi đó: 
 Trang 9 
 Trường hợp 1: 
1
2 1 0 .
2
x x     
 Trường hợp 2:  
22 24 5 0 4 4 1 0 2 1 0x x x x x            (vô nghiệm). 
Thay 
1
2
x   vào phương trình chứa tham số m ta có 
 2 2
1 5
5. 3 10 7 0 7 0 0
2 2
m m m m m m m m
 
             
 
 hoặc 7m   . 
Khi đó 
Trường hợp 1: 0m  . 
Với 0m  , thay vào phương trình có chứa tham số m ta có 
5 1
5 .
2 2
x x     
Vậy với 0m  thì hai phương trình đã cho là tương đương. 
Trường hợp 2: 7 0 7.m m     
Với 7m   , thay vào phương trình có chứa tham số m ta có 
     
2 5 5
5 3 7 7 10 7 5 21 49 70
2 2
x x            
5
5
2
x   
1
2
x   . 
Vậy với 7m   thì hai phương trình đã cho là tương đương. 
Bài tập tự luyện dạng 3 
Bài tập cơ bản 
Câu 1. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 
 a)    25 1 4 1 2 1 0m x m x m      có nghiệm 5x  . 
 b)  2 2 21 3 0m m x m x     có nghiệm 1.x  
Câu 2. Tìm m để phương trình 
 a)   2 5 3 8 4 9x m m    có nghiệm 3x  . 
 b)  2 5 1 0m x x m     có nghiệm 1x   . 
Hƣớng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1. 
 a) Thay 5x  vào phương trình ta được phương trình ẩn m : 
   2
4 2
5 1 .5 4. 1 2 .5 1 0 86 4 0 .
86 43
m m m m m            
 Trang 10 
Vậy với 
2
43
m  thì phương trình có nghiệm 5x  . 
b) Thay 1x  vào phương trình ta được phương trình ẩn m : 
 2 2 21 .1 .1 3 0 2 0 2.m m m m m            
Vậy với 2m   thì phương trình đã cho có nghiệm 1x  . 
Câu 2. 
 a) Thay 3x  vào phương trình ta được phương trình ẩn m : 
  
97
2.3 5 3 8 4 9 0 37 97 0 .
37
m m m m          
Vậy với 
97
37
m  thì phương trình có nghiệm 3x  . 
b) Thay 1x   vào phương trình ta có phương trình ẩn m : 
 2 . 1 5.1 1 0 2 6 0 3.m m m m           
Thay vài phương trình ta có 5 4 0.x x   
Với 0x  ta có 
2
5 4 0 6 4 0
3
x x x x         (không thỏa mãn). 
Với 0x  ta có 5 4 0 4 4 0 1x x x x          (thỏa mãn). 
Vậy với 3m  thì phương trình đã cho có nghiệm 1x   .