Đề chọn học sinh giỏi môn Toán 7 - Năm học 2021-2022

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN KIM SƠN 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 
MÔN TOÁN 7 
(Đề thi gồm 05 câu, in trong 01 trang 
Thời gian làm bài 120 phút) 
Câu 1 (4 điểm) 
1. Rút gọn
1 1 1 1 1 1
...
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
A        
2. a) x N sao cho x lớn nhất thỏa mãn: 2 32.2 .2 .....2 2048x  
 b) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 
2 3 4 1 342.2 3.2 4.2 .... ( 1).2 .2 2n n nn n        
Câu 2 (4 điểm) 
1. Tìm các số x, y, z biết: 
2 2 2
2 2 22 4 4 6 6 2 2 4 6
xy yz zx x y z
y x z y x z
 
  
    
. 
2. Ba phân số có tổng bằng 
213
70
. các tử số của chúng tương ứng tỉ lệ với 3; 4; 5, 
các mẫu số của chúng tương ứng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. 
3. Chứng minh rằng : 2 3 4 5 99 1002 2 2 2 2 ..... 2 2       chia hết cho 31 
Câu 3 (4 điểm) 
a) T×m ®a thøc M biÕt r»ng:  2 2 25 2 6 9M x xy x xy y     . Tính giá trị của M khi 
x, y thỏa mãn    
2018 2020
2 5 3 4 0x y    . 
b) Ba máy xay, xay được 359 tấn thóc. Số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 
3:4:5, số giờ làm việc hàng ngày của các máy tỉ lệ theo 6:7:8 còn công suất của các máy 
tỉ lệ nghịch với 5; 4; 3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc? 
Câu 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C). 
Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D 
cắt BA tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I. 
a) Chứng minh rằng: DM = EN 
b) Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN 
c) Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN 
tại I. Chứng minh rằng: BMO CNO   . Từ đó suy ra điểm O cố định. 
Câu 5(4 điểm). Cho 

xAy=600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc 
với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ 
CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh: 
 a) K là trung điểm của AC 
b) KMC là tam giác đều 
c)Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM. 
-------HẾT------ 
 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021 – 2022 
MÔN: TOÁN 7 
Câu Nội dung Điểm 
Câu 
1 
4 
điểm 
1. 
2.0 
điểm 
1. A = 
1 1 1 1 1 1
...
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
      
A = 
1 1 1 1 1 1
...
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
 
     
 
 
0,25 
A = ...
1.2 2.3
1 1 1 1 1 1
100 97.98 98.99 99.100
 
      
 
 0,25 
A = 1 ...
2 3 98 99
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
100 2 97 98 99 100
 
           
 
 0,25 
A = 
1 1
1
100 100
 
 
 
  0,25 
A = 
1 1
1
100 100
  0,25 
A = 
2
1
100
 0,25 
A = 
1
1
50
 0,25 
A = 
49
50
 0,25 
2.a 
1,0 
điểm 
Ta có:
2 3 112.2 .2 ...2 2x  1 2 3 ... 11x     
0,25 
(1 )
11
2
x x
  ( 1) 22x x  
0,5 
Vì x N và x lớn nhất nên x=4
0,25 
2b. 
1,0 
điểm 
Đặt 
3 4 52 2 2 ...... 2nC      
Suy ra 
3 4 52 2.(2 2 2 ...... 2 )nC      
4 5 6 12 2 2 ...... 2n     
2C – C = 
4 5 6 1(2 2 2 ...... 2 )n    - 
3 4 5(2 2 2 ...... 2 )n    
 C = 1 32 2n 
0,25 
Khi đó : 
1 3 1 3(2 2 ) .2 2n nB n      
1 3 1 32 2 .2 2n nn      
1 1 12 .2 ( 1).2n n nn n       
0,25 
Vậy từ (1) ta có : 
1 34( 1).2 2n nn    
34 12 ( 1).2 0n nn    
1 332 . 2 ( 1) 0n n      
0,25 
Do đó 
332 1 0n   (Vì 12 0n  với mọi n) 
332 1n   . Vậy 332 1n   
0,25 
Câu 
2 
4 
điểm 
1 
(2.0 
điểm) 
Tìm các số x, y, z biết:
2 2 2
2 2 22 4 4 6 6 2 2 4 6
xy yz zx x y z
y x z y x z
 
  
    
 (2) 
 Xét x = 0 0 2 4 0y z y x      (vô lí) 
Suy ra 0; 0; 0x y z   
0,25 
Khi đó từ (2) suy ra 
2 2 2
2 2 2
2 4 4 6 6 2 2 4 6y x z y x z
xy yz zx x y z
    
  
 
0,25 
Suy ra
2 2 2
2 2 2
2 4 4 6 6 2 2 4 6
x y y z z x x y z
 
     
 
0,25 

2 4 6
x y z
  và 
2 2 2
2 2 2
2 4 6 2
2.
x y z x
 

 
0,25 
Đặt 
2 4 6 1
( 0)k
x y z k
    thì 
2 2 2
2 2 2
2 4 6 2
x y z k
 

 
Suy ra x = 2k ; y = 4k ; z = 6k và 2 2 2 28x y z k   (3) 0,25 
Thay x = 2k ; y = 4k ; z = 6k vào (3) ta được 
     
2 2 2
2 4 6 28k k k k   
 56k2 – 28k = 0 
 56k.(2k-1) = 0 
0,25 
 k = 0 (loại) 
 Hoặc 
1
2
k  ( thỏa mãn) 
0,25 
+ Với 
1
2
k  thì tìm được x =1; y = 2; z = 3 
 Kết luận: Vậy x =1 ; y = 2; z = 3 
0,25 
2. 
(1.0 
điểm) 
2. Gọi ba phân số cần tìm là a,b,c. 0,25 
Vì các tử số của chúng tương ứng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu số 
của chúng 
 tương ứng tỉ lệ với 5; 1; 2 nên ta có 
3 4 5
a:b:c : : 6 : 40 : 25
5 1 2
  
0,25 
a b c
= =
6 40 25
 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 
213
a b c a+b+c 370= =
6 40 25 6+40+25 71 70
   
0,25 
3 6 9
a
70 35
40 3 12
b
70 7
25 3 15
c
70 14
.
.
.
  
  
  
0,25 
Vậy ba phân số cần tìm là 
9 12 15
; ;
35 7 14
0,25 
3 
(1.0 
điểm) 
3. Chứng minh rằng: 2 3 4 5 99 1002 2 2 2 2 ..... 2 2       chia hết 
cho 31 
Đặt D= 2 3 4 5 99 1002 2 2 2 2 ..... 2 2       (có 100 số hạng) 
2 3 4 5 6 7 8 9 10
96 97 98 99 100
(2 2 2 2 2 ) (2 2 2 2 2 ) .....
(2 2 2 2 2 )
          
    
0,25 
𝐷 = 2. (1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 26(1 + 2 + 22 + 23
+ 24)+. . . . . +296. (1 + 2 + 22 + 23 + 24) 
0,25 
D = 2.31 + 26 .31 +.....+296 .31 0,25 
D = 31.(2 + 26 +.....+296 ) chia hết cho 31 
Vậy 2 3 4 5 99 1002 2 2 2 2 ..... 2 2       chia hết cho 31 
0,25 
Câu 
4 
4điể
m 
a 
(1,5 
điểm) 
Tìm đa thức M biết rằng:  2 2 2M 5x 2xy 6x 9xy y     . 
Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn 
   
2018 2020
2x 5 3y 4 0    . 
 
 
2 2 2
2 2 2
M 5x 2xy 6x 9xy y
M 6x 9xy y 5x 2xy
    
     
 0,25 
2 2 2
2 2
M 6x 9xy y 5x 2xy
M x 11xy y
    
  
 0,25 
Ta có: 
 
 
   
2018
2018 2020
2020
2x 5 0
2x 5 3y 4 0
3y 4 0
  
    
 
 0,25 
Mà    
2018 2020
2x 5 3y 4 0       
2018 2020
2x 5 3y 4 0     0,25 

 
 
2018
2020
5
x
2x 5 0 2
43y 4 0 y
3

   
 
    

 Thay vào M ta được 0,25 
M = 
2
2
5





 + 
5 4
11. .
2 3
 
 
 
 - 
2
3
4





  = 
4
25
- 
3
110
 -
9
16
 = 
36
1159
0,25 
b 
(2,5 
điểm) 
Gọi: x, y, z là số tấn thóc mà mỗi máy xay, xay được 
1 1 1, ,x y z là số ngày làm việc của mỗi máy, 
2 2 2, ,x y z là số giờ làm việc hàng ngày của mỗi máy, 
3 3 3, ,x y z là công suất của mỗi máy đó (tấn/giờ). 
0,5 
Theo bài ra ta có: 
x + y + z = 359 (1) 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
: : 3: 4 :5 (2)
: : 6 : 7 :8 (3)
1 1 1
: : : : (4)
5 4 3
x y z
x y z
x y z



0,5 
(Có 20 nhóm) ) 
Từ (2), (3), (4) ta có: 
1 2 3 1 2 3 1 2 3. . .y .y .z .z (5)
1 1 1
3.6. 4.7. 5.8.
5 4 3
x x x y z
  0,5 
Từ (1) và (5) ta có: 
18 407
5 3
x y z
  
0,25 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
359
15
18 40 18 40 3597
7
5 3 5 3 15
x y z x y z 
    
 
 0,25 
Suy ra x = 54; y = 105; z = 200 0,25 
Vậy số thóc mà các máy lần lượt xay được là 54 tấn, 105 tấn và 
200 tấn 
0,25 
Câu 
4 
4 
điểm 
 b 
1 điểm 
Tam giác ABC cân tại A nên ; ABC ACB 0,25 
NCE ACB (đối đỉnh) suy ra ; ABC NCE 0,25 
BD = CE (gt) 
0,25 090 D E  
Do đó: ( . . )MDB NEC g c g  
0,25 
DM EN  (hai cạnh tương ứng) 
b 
1,5 
điểm 
Chứng minh được ( . . )MDI NEI g c g  0,5 
MI NI  (hai cạnh tương ứng) 0,25 
Vì BD = CE (do MDB NEC   ) nên BC = DE . 0,25 
Lại có tam giác DMI vuông tại D nên DI < MI, 
 tam giác ENI vuông tại E nên IE < IN 
0,25 
M
D
I C E
N
O
B
A
Do đó DI + IE < MI + IN 
DE< MN 0,25 
Suy ra BC < MN 
c 
1,5 
điểm 
Chứng minh được 
( . . )ABO ACO c g c  0,25 
,OC OB  (hai cạnh tương ứng) 
0,25 
.ABO ACO (hai góc tương ứng) 
Xét hai tam giác MIO và tam giác NIO 
Có MI = NI (chứng minh câu a) 
090 MIO NIO 
IO là cạnh chung 
( . . ) MIO NIO c g c 
0,25 
.OM ON  (hai cạnh tương ứng) 
Lại có: BM = CN (vì MDB NEC   ), 
 do đó ( . . )BMO CNO c c c  
0,25 
MBO NCO  , Mà: MBO ACO suy ra NCO ACO , 
mà đây là hai góc kề bù nên COAN. 
0,25 
0,25 Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và 
đường vuông góc với AC tại C nên O cố định. 
Câu 
5 
4 
điểm 
a 
1 điểm 
Ta có Bt // Ay (gt)  BCA CAM (so le trong) 
Vì Az là phân giác góc xAy nên 
BAC CAM CAB ACB ( CAM)   
Do đó ABC cân tại B 
0,5 
Mà BK là đường cao nên BK đồng thời là đường trung tuyến
 K là trung điểm của AC 
0,5 
b 
Xét ABH và BAK có: AB cạnh huyền chung 
0 0ABH KAB 30 ; K H 90    
0,25 
 1,5 
điểm 
ABH = BAK ( cạnh huyền - góc nhọn ) 
 BH = AK ( hai cạnh tương ứng) 
0,25 
mà AK = 
1
2
AC BH = 
1
2
AC 
Chứng minh được: BHM =MCB (g.c.g) 
0,25 Suy ra BH = CM (hai cạnh tương ứng) 
mà CK = BH = 
1
2
AC  CM = CK  MKC là tam giác cân 
tại C (1) 
0,25 
0,25 
Mặt khác : 0BHM MCB 90  (BHM =MCB) 
 và ACB= 300 MCK = 600(2) 
Từ (1) và (2)  MKC là tam giác đều 0,25 
c 
1,5 
điểm 
Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 
=> AB = 2BK =2.2 = 4cm 
0,5 
XétABK vuông tại K, theo định lý Py-ta-go ta có: 
AK = 2 2 16 4 12AB BK cm    
0,25 
Mà KC = AK (theo câu a) => KC = AK = 12cm 0,25 
KCM đều => KC = KM = 12cm 0,25 
Vì ABC cân tại B nên AB = CB = 4cm, 
AH = BK = 2cm (vì ABH = BAK); 
HM = BC = 4cm (vì BHM =MCB) 
Suy ra AM=AH+HM=6cm. 
0,25 
Lưu ý: 
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 
Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm bài hình.