Đề 8 thi thử kỳ thi thpt quốc gia năm 2016 môn Toán

 Email: phukhanh@moet.edu.vn 5 
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 22 3y x x   . 
Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số 3 23 2y x x mx    , với m là tham số thực. Tìm m để 
đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị cĩ hồnh độ 1x , 2x thỏa mãn 1 22 1x x  . 
Câu 3 (1,0 điểm). 
 a) Tìm số phức z , biết z thỏa mãn 1 1z i z   và 2 3z  là số thuần ảo. 
 b) Giải phương trình    11 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2x x x    . 
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 
 
2
2
0
sin
1 cos
x x
I dx
x


 . 
Câu 5 (1,0 điểm). Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 
  2 2 2: 8 20 0S x y z z     , mặt phẳng   : 2 2 5 0P x y z    và điểm 
 1;4;1A  . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , nằm trong  P và cắt  S 
tại hai điểm M , N sao cho 6 3MN  . 
Câu 6 (1,0 điểm). 
 a) Cho hai gĩc  ,  thỏa mãn 2sin sin
2
   và 6cos cos
2
   . Tính giá 
trị biểu thức  cosA    và  sinB    . 
 b) Trong một kỳ thi THPT Quốc Gia, để xét vào Đại học mỗi thí sinh phải lần lượt 
thi ba mơn bắt buộc. Khả năng để một thí sinh nào đĩ thi đạt mơn thứ nhất là 0,8; nếu 
thi đạt mơn thứ nhất thì khả năng thi đạt mơn hai là 0,8 nhưng nếu thi khơng đạt 
mơn thứ nhất thì khả năng thi đạt mơn thứ hai là 0,6; nếu thi đạt cả hai mơn đầu thì 
khả năng thi đạt mơn ba là 0,8; nếu thi khơng đạt cả hai mơn đầu thì khả năng thi đạt 
mơn ba là 0,5; nếu chỉ cĩ một mơn trong hai mơn thi trước đạt thì khả năng thi đạt 
mơn ba là 0,7. Tính xác suất để thí sinh đĩ thi chỉ đạt cĩ hai mơn. 
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chĩp .S ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với 
, 2AB a AD a  . Gọi O là tâm của đáy và SO SD . Mặt phẳng  SBD vuơng gĩc 
với mặt đáy, mặt phẳng  SAB tạo với đáy một gĩc 60 . Gọi M là trung điểm BC . 
Tính thể tích khối chĩp .S ABCD và cơsin của gĩc giữa hai đường thẳng AM , SB . 
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuơng ABCD tâm I . 
Gọi M là trung điểm cạnh AB ; E , F lần lượt là hai điểm trên hai cạnh BC , CD 
sao cho  045EIF  . Giả sử đường thẳng ME cĩ phương trình 5 4 27 0x y   , điểm 
A thuộc đường thẳng : 2 8 0d x y   và  6; 7F   . Tìm tọa độ điểm A . 
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 3 2 3 22 4 5 3 4x x x x x x x        . 
ĐỀ SỐ 
9 ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 
 Email: phukhanh@moet.edu.vn 6
Câu 10 (1,0 điểm). Cho x , y , z là các số thực khơng âm và thỏa mãn điều kiện 
2 2 2 2x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2
2
1
1 91
x y z yz
P
x y zx yz x
   
    
. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1. Bạn đọc tự làm 
Câu 2. Ta cĩ 2' 3 6y x x m   . 
 Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị  phương trình ' 0y  cĩ 2 nghiệm phân biệt và 
'y đổi dấu qua 2 nghiệm đĩ ' 9 3 0 3m m      . 
 Khi đĩ các điểm cực trị cĩ hồnh độ 1x , 2x là nghiệm của phương trình ' 0y  . 
 Theo Vi-et, ta cĩ 
 
 
1 2
1 2
2 1
2
3
x x
m
x x

 

. 
 Kết hợp với giả thiết, ta được 1 2 1 2
1 2
2 5 1
;
2 1 3 3
x x
x x
x x
       
. 
 Thay 1 2
5 1
; 
3 3
x x  vào  2 , ta được 5 1 5.
3 3 3 3
m
m   . 
 Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị, ta được 5
3
m  là giá trị cần tìm. 
Câu 3. 
 a) Đặt z x yi   ,x y  , suy ra z x yi  . 
 ● Từ 1 1z i z   , ta cĩ      1 1 1 1x yi i x yi x y y x i           
        2 2 21 1 2 2 0
1
x y
x y y x x y x y
x y
               
. 
 ● Để  22 2 23 3 3 2 .z x yi x y xy i        là số thuần ảo 
2 2 3 0
2 0
x y
xy
    
. 
 Từ đĩ ta cĩ hệ 
2 2
2
1 0
1
3 0;2 0
x y
x
x y
y
x y xy
                 
. 
 Vậy số phức cần tìm là 2z i  . 
 b) Điều kiện: 12 3 0x   . 
 Với điều kiện trên phương trình đã cho trở thành 
    11 1 1
2 2 2
log 4 4 log 2 3 log 2x x x    
      1 11 1
2 2
log 4 4 log 2 3 2 4 4 2 3 2x x x x x x            
 Email: phukhanh@moet.edu.vn 7 
 2 1 2 1 4 4 2 3.2 4 3.2 4 0 2.
2 4
x
x x x x x
x
x
            
loại
 Đối chiếu điều kiện, phương trình cĩ nghiệm duy nhất 2x  . 
Câu 4. Đặt 
 2
sin 1
1 cos 1 cos
u x du dx
xdx
dv v
x x
            
. 
 Khi đĩ 
2 2
2
0 0 0
1 cos 1 cos 2 1 cos 2
x dx dx
I A
x x x
 
           . 
 Với 
2 2 2
2
2 2 0
0 0 0
1 1 1 1
tan 1.
1 cos 2 22cos cos
2 2
x
A dx dx dx
x xx
  

    
   
 Vậy 1.
2 2
I A
     
Bài tập tương tự. Tính tích phân 
4
2
0
sin
cos
x x
I dx
x

  . 
Hướng dẫn 
 Đặt 
2
 sin 1
coscos
u x du dx
x
dv dx v
xx
          
. 
 Suy ra 
4 4 4
4
2
0 0 0 0
2 2 cos
cos cos 4 cos 4 1 sin
x dx dx xdx
I
x x x x
  
      
   . 
 Đặt sin cost x dt xdx   . Đáp số: 2 1 2 2ln .
4 2 2 2
I
  

Câu 5. Mặt cầu  S cĩ tâm  0;0;4I , bán kính 6R  . 
 Mặt phẳng  P cĩ vectơ pháp tuyến  2;2; 1Pn  

. 
 Nhận xét:  A P nên mọi đường thẳng qua A và cĩ vectơ chỉ phương song song 
với  P thì đều thuộc  P . 
 Gọi  ; ;u a b c 

 là vectơ chỉ phương của  với 2 2 2 0a b c   . 
 Do  nằm trong  P nên . 0 2 2 0 2 2Pu n a b c c a b        
 
.  1 
 Ta cĩ  1; 4;3AI  

, suy ra  , 3 4 ; 3 ; 4u AI b c c a a b        
 
. 
 Gọi H là trung điểm MN . Ta cĩ  
2
2 2 2 3 , 3
4
MN
IH R HM R d I        
 Email: phukhanh@moet.edu.vn 8
     2 2 2
2 2 2
, 3 4 3 4
3 3
u AI b c c a a b
a b cu
            
 
 
 .  2 
 Từ  1 và  2 , ta được  22 24 12 9 0 2 3 0 2 3a ab b a b a b        . 
 Ta chọn 3a  , suy ra 2b  . Thay vào  1 , ta được 2c  . 
 Do đĩ đường thẳng  được xác định là đi qua  1;4;1A  và cĩ vectơ chỉ phương 
 3; 2;2u  

 nên cĩ phương trình 1 4 1:
3 2 2
x y z    

. 
Câu 6. 
 a) Ta cĩ  cos cos cos sin sinA          . 
 Từ giả thiết 2 22 1sin sin sin sin 2 sin sin
2 2
           ;  1 
 2 26 3cos cos cos cos 2 cos cos
2 2
           . 2 
 Cộng vế với vế của  1 và  2 , ta được 
   
2 2 2 2 sin sin cos cos 2 sin sin 2cos cos 2
2 2 sin sin cos cos 2 2cos 0.
       
     
     
      
 Vậy 0A  . 
 Ta cĩ  sin sin cos sin cosB          . 
 Từ giả thiết, ta cĩ    2 6sin sin cos cos .
2 2
      
   
3
sin cos sin cos sin cos sin cos
2
1 3
sin 2 sin 2 sin .
2 2
       
   
    
    
 Mặt khác    sin 2 sin 2 2sin cos 0          (do  cos 0   ). 
 Vậy   3sin
2
B     . 
 b) Gọi X là biến cố '' Thí sinh chỉ đạt hai mơn thi '' . 
 iA là biến cố '' Thí sinh thi đạt mơn thi thứ i '' với 1, 2, 3i  . 
 iA là biến cố đối lặp của iA . 
 Các biến cố 1 2 3A A A , 1 2 3A A A và 1 2 3A A A xung khắc. 
 Khi đĩ 1 2 3 1 2 3 1 2 3X A A A A A A A A A   . Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta cĩ 
        1 2 3 1 2 3 1 2 3P X P A A A P A A A P A A A   . 
 ● Các biến cố 1 2 3, , A A A độc lập nên 
        1 2 3 1 2 3. . 0,2.0,6.0,7 0,084P A A A P A P A P A   . 
 ● Các biến cố 1 2 3, , A A A độc lập nên 
 Email: phukhanh@moet.edu.vn 9 
        1 2 3 1 2 3. . 0,8.0,2.0,7 0,112P A A A P A P A P A   . 
 ● Các biến cố 1 2 3, , A A A độc lập nên 
        1 2 3 1 2 3. . 0,8.0,8.0,2 0,128P A A A P A P A P A   . 
 Vậy xác suất thí sinh chỉ thi đạt hai mơn thi là 
        1 2 3 1 2 3 1 2 3 0,324P X P A A A P A A A P A A A    . 
Câu 7. Gọi H là trung điểm của OD , suy ra SH OD . 
 Mà    SBD ABCD theo giao tuyến BD nên  SH ABCD . 
 Kẻ HK AB  K AB . 
 Ta cĩ  AB HK AB SHK AB SK
AB SH
      
. 
 Do đĩ      060 , ,SAB ABCD SK HK SKH   . 
 Ta cĩ KH BH
AD BD
 suy ra . 3
2
BH AD a
KH
BD
  . 
 Trong tam giác vuơng SHK , ta cĩ  3 3.tan
2
a
SH KH SKH  . 
 Diện tích hình chữ nhật ABCD là 2. 2ABCDS AB AD a  . 
 Thể tích khối chĩp .S ABCD là 3.
1
. 3
3S ABCD ABCD
V S SH a  (đvtt). 
 Gọi N là trung điểm SC , suy ra MN SB . Do đĩ  , ,AM SB AM MN . 
 Bây giờ ta đi tính các cạnh trong tam giác AMN . 
 ● 2 2 2AM AB BM a   . 
 ● 2 2 5BD AB AD a   , suy ra 3 3 5
4 4
a
BH BD  . 
 Do đĩ 2 2 3 17
4
a
SB SH BH   nên 3 17
2 8
SB a
MN   . 
K 
N 
M 
O 
S 
A 
B C 
D 
H 
 Email: phukhanh@moet.edu.vn 10
 ● Tam giác SKA vuơng tại K nên 
  
2 2
2 2 2 2 2 145
4 16
AB a
SA SK AK SH KH
         . 
 Trong tam giác COD , ta cĩ 
2 2 2 2
2 13
2 4 16
CD CO OD a
CH
   . 
 Suy ra 
2
2 2 2 121
16
a
SC SH CH   . 
 Trong tam giác SAC , ta cĩ 
2 2 2 2
2 329
2 4 64
SA AC SC a
AN
   . 
 Áp dụng định lí hàm số cơsin trong tam giác AMN , ta cĩ 
 
2 2 2 1
cos 0
2 . 34
AM MN AN
AMN
AM MN
    . 
 Vậy hai đường thẳng AM và SB hợp với nhau một gĩc  thỏa mãn 1cos
34
 . 
Câu 8. Do ABCD là hình vuơng nên   045IDF IBE  .  1 
 Ta cĩ 
 
 
 
0
0
135
135
FID BIE
FID IEB
IEB BIE
      
. 2 
 Từ  1 và  2 , suy ra FID IEB ∽ , suy ra FD DI
IB BE
 hay . .FD BE IB ID . 
 Đặt 0BM a  , suy ra 2AD a , 2IB ID a  . 
 Ta cĩ 2. . 2. 2 2 .FD BE IB ID a a a AD BM    hay . .FD BE AD BM . 
 Suy ra    FD BM AFD EMB AFD EMB FAB EMB ME AF
AD BE
       ∽ . 
 Đường thẳng AF đi qua  6; 7F   và song song ME nên : 5 4 2 0AF x y   . 
 Do A AF d  nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  2 8 0 2;3
5 4 2 0
x y
A
x y
       
. 
 Vậy  2;3A . 
Câu 9. Điều kiện 0x  . 
I 
M A B 
C D 
E 
F 
 Email: phukhanh@moet.edu.vn 11 
 Bất phương trình tương đương    2
3 2 3 2
5 4
2 1
4 5 3 4
x x
x x
x x x x x
    
    
      
  
3 2 3 2
3 2 3 2
4 1 4 1 1
2 4 5 3 4
1 1
4 1 0
2 4 5 3 4
x x x x x
x x x x x x
x
x x
x x x x x x
    
 
     
              
    3 2 3 24 1 4 5 3 4 2 0x x x x x x x x x               . 
 Ta cĩ 
 
     
3 2 2
2 23 2
4 5 4 5
3 4 2 1 2 2
x x x x x x x
x x x x x x
               
. 
 Suy ra 3 2 3 24 5 3 4 2 0x x x x x x x         . 
 Do đĩ bất phương trình tương đương 4 0 4x x    . 
 Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là  4;S   . 
Câu 10. Ta cĩ    2 2 2 20 2 2 2 2 1x y z x y z xy xz yz xy xz yz             , nên 
     2 1 1 1 1x yz x x x y z xy xz yz x x y z               . 
 Suy ra 
2
2 11
x x
x y zx yz x

    
. 
 Mặt khác,      2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z x y z x y z yz yz x y z            
    222 2 4 1yz x y z yz          . 
 Do đĩ 
 2
1 36
x y zx y z
P
x y z
   
  
. 
 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2
0
2
x y z
x y z
x y z
        
.  1 
 Đặt t x y z   , suy ra 0t  và    22 2 2 2 2 2 2t x y z x y z xy yz zx         
      2 2 2 2 2 22 6x y y z z x        . 
 Do đĩ 0 6t  . Khi đĩ 
2
1 36
t t
P
t
 

. 
 Xét hàm số  
2
1 36
t t
f t
t
 

, với 0 6t  . 
 Ta cĩ  
 
  
 
2
2 2
2 4 91
'
181 18 1
t t tt
f t
t t
  
  
 
;  ' 0 2f t t   . 
 Mà  0 0f  ;   52
9
f  và   31 66
30 5
f   . Suy ra   5
9
f t  , với 0 6t  . 
 Email: phukhanh@moet.edu.vn 12
 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi: 2 2t x y z     .  2 
 Suy ra 5
9
P  . Từ  1 và  2 , suy ra dấu '' '' xảy ra khi 1; 0
1; 0; 1
x y z
x y z
      
. 
 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 5
9
; khi 1; 0x y z   hoặc 1; 0; 1x y z   . 
 Cách 2. Ta cĩ    2 2 2 20 2 2 2 2 1x y z x y z xy xz yz xy xz yz             , nên 
     2 1 1 1 1x yz x x x y z xy xz yz x x y z               . 
 Suy ra 
2
2 11
x x
x y zx yz x

    
. 
 Do đĩ 1 1 11
1 9 1 9
x y z yz yz
P
x y z x y z
                  
. 
 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi 
2 2 2
0
2
x y z
x y z
      
.  1 
 Ta lại cĩ  222 2 1x y z x y z yz          . 
 Do đĩ 1 11
92 1 1
yz
P
yz
          
. 
 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi x y z  .  2 
 Đặt 1t yz  , 1 2t  . Khi đĩ 
21
1
2 1 9
t
P
t
        
. 
 Xét hàm số  
21
2 1 9
t
f t
t
 

, với 1 2t  . 
 Ta cĩ  
 
  
 
2
2 2
1 4 8 92 2
' 0
92 1 9 2 1
t t tt
f t
t t
     
 
, 1; 2t       . 
 Suy ra  f t đồng biến trên 1; 2t      nên    
4
1
9
f t f  , 1; 2t       . 
 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 0t yz y      hoặc 0z  .  3 
 Suy ra 4 51
9 9
P    . 
 Từ  1 ,  2 và  3 , suy ra dấu '' '' xảy ra khi 1; 0
1; 0; 1
x y z
x y z
      
. 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5
9
; khi 1; 0x y z   hoặc 1; 0; 1x y z   .