Đề 7 tự luyện thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1*.(2đ) Cho hàm số 
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
 b) Đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt. Tính độ dài AB.
Câu 2*.(1đ)
Giải phương trình: 
Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm phần ảo của số phức .
Câu 3*. (0,5 đ). Giải bất phương trình 
Câu 4. (1 đ) Giải hệ phương trình: 
Câu 5*. (1 đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ.
Câu 6. (1 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; các đường
thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau; SA = AC = CD = và AD = 2BC. Tính thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Câu 7. (1 đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Đường thẳng d song song
với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N sao cho . Biết rằng M(–4; 0), C(5; 2) và chân
đường phân giác trong của góc A là D(0; –1). Hãy tìm tọa độ của A và B.
Câu 8*. (1 đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
và . Tìm tọa độ giao điểm của và và viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho
đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng (P).
Câu 9*. (0,5 đ) Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là An và Bình.
Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho hai học sinh An và
Bình đứng cạnh nhau.
Câu 10. (1 đ) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức .
..Hết..
Họ và tên thí sinh:. .Số báo danh: .
Chữ ký giám thị 1:Chữ ký giám thị 2: ..
H ư ớng d ẫn ch ấm
C âu 
đim
C.1.a
C.1.b
* Tập xác định: 
* 
* Tiệm cận ngang: y= –1 vì 
* Tiệm cận đứng x= –2 vì 
* Bảng biến thiên:
X
-
–2
+
Y’
–
–
Y
–1
–
+
–1
	Hàm số nghịch biến trên: (–;–2), (–2;+ )	
	Hàm số không có cực trị
* Điểm đặc biệt:
 x
-6
–4
–2
0
2
Y
-2
–3
kxd
1
0
* Đồ thị:
* Gọi là tiếp điểm
* 
* 
* Suy ra, , 
* Phương trình tiếp tuyến: 
* Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
C.2.a
 Giải phương trình: 
Biến đổi phương trình về dạng: 
Với 
Kl: phương trình có 2 họ nghiệm: 
0,25
0,25
C.2.b
Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm phần ảo của số phức 
Giả sử .
Theo giả thiết, ta có 
Suy ra .
Ta có . Vậy 
0,25
0,25
C.3
ĐK: . BPT 
. Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là 
0,25
0,25
C.4
Giải hệ phương trình: 
Biến đổi pt ban đầu về dạng 
TH 1: Với y = 2 thay vào pt (2) : vô nghiệm
TH 2: Với y = - 2 thay vào (2): suy ra nghiệm (x; y) =(-2;-2)
TH 3: Với thay vào (2): 
Kl: hệ phương trình có nghiệm 
0,25
0,25
0,25
0,25
C.5
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (-1; 0). Do đó 
Ta có=
0,25
0,25
0,25
0,25
C.6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; các đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau; SA = AC = CD = và AD = 2BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Ta có: SA ^ AC và SA ^ CD 
Þ SA ^ (ABCD).
 D ACD vuông cân tại C 
Þ AD = 2a Þ BC = a.
Gọi I là trung điểm AD Þ AI = BC, AI // BC và CI ^ AD Þ ABCI là hình vuông.
Þ AB ^ AD.
Do đó SABCD = . Vậy VSABCD = .
Ta có CD // BI Þ CD // (SBI) Þ d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(C, (SBI))
Gọi H = AC Ç BI và AK ^ SH tại K. Ta có AK ^ (SBI) Þ d(A, (SBI)) = AK.
Ta có Þ AK = .
Þ d(A; (SBI)) = AK = . Vì H là trung điểm AC nên d(C; (SBI)) = d(A; (SBI)) = . Vậy d(CD, SB) = .
0,5
0,5
C âu 7
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N sao cho . Biết rằng M(–4; 0), C(5; 2) và chân đường phân giác trong của góc A là D(0; –1). Hãy tìm tọa độ của A và B
Gọi D' là điểm trên cạnh BC sao cho CD' = MN. 
Ta có MNCD' là hình bình hành 
Þ MD' = CN = AM Þ D AMD' cân tại M 
Þ Ð MD'A = Ð MAD' = D'AC 
Þ AD' là phân giác của góc A Þ D' trùng D. CA qua C và song song MD 
Þ CA có vectơ chỉ phương là = (4; –1)
Þ AC: .
A Î AC Þ A(5 + 4a; 2 – a) Þ = (9 + 4a; 2– a).
Ta có MA = MD Û (9 + 4a)2 + (2 – a)2 = 17 Û 17a2 + 68a + 85 – 17 = 0 Û a = –2 . Vậy A(–3; 4).
 = (1; 4) Þ AB: Û 4x – y = –16 ; = (5; 3) Þ BC: Û 3x –5y=5 . 
Do đó B: Û . Vậy B(–5; –4).
0,5
0,5
C.8
C.9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Tìm tọa độ giao điểm của và và viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng (P).
Viết lại và dưới dạng tham số
Giải hệ phương trình tìm được giao điểm A(3; 0; 2)
Đường thẳng có VTCP 
Đường thẳng có VTCP 
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa thì (Q) có VTPT là 
Vì là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng (P) (P) chứa và 
Do đó (P) cũng đi qua A và có VTPT là 
(P) có phương trình là:
Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là An và Bình. Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho hai học sinh An và Bình đứng cạnh nhau
Mỗi cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành 1 hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử (phần tử) 
Gọi A là biến cố: "An và Bình đứng cạnh nhau".
 (phần tử) 
 (phần tử)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
C.10
Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm min của biếu thức .
Với mọi số thực x, y ta luôn có , nên từ điều kiện suy ra
Ta biến đổi P như sau 
 (3)
Do nên từ (3) suy ra 
Đặt thì (do .
Xét hàm số với , có , với nên hàm số f(t) đồng biến trên . Suy ra .
Do đó GTNN của P bằng , đạt được khi và chỉ khi 
0,25
0,25
0,25
0,25