Đề 7 thi thử kỳ thi thpt quốc gia môn : Toán thời gian làm bài 180 phút

NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA
———————— Mụn : TOÁN
Đỏp ỏn đề số 07 Thời gian làm bài 180 phỳt
————
Cõu 1a (1,0 điểm).
• Tập xỏc định : D = R\{−1}.
• Sự biến thiờn :
+ Giới hạn, tiệm cận :
lim
x→+∞ y = limx→−∞ y = 1⇒ tiệm cận ngang là y = 1.
lim
x→−1−
y = −∞; lim
x→−1+
y = +∞⇒ tiệm cận đứng là x = −1.
+ Bảng biến thiờn :
y′ = − 2
(x + 1)2
< 0,∀x ∈ D.
x − ∞ −1 + ∞
y′ − −
y
1
− ∞
+ ∞
1
Hàm số nghịch biến trờn (−∞;−1) và (−1; +∞).
Hàm số khụng cú cực trị.
• Đồ thị :
+ Cắt Oy tại (0; 3) và cắt Ox tại (−3; 0).
y
xO
1
3
I
−1−3
+ Nhận giao điểm I(−1; 1) của hai tiệm cận làm tõm đối xứng.
Cõu 1b (1,0 điểm).
Ta cú y = 1 +
2
(x + 1)2
.
Giả sử M (x0; y0) là điểm trờn (C) cú tọa độ nguyờn, ta cú :đ
x0 ∈ Z
y0 ∈ Z ⇔

x0 ∈ Z
1 +
2
x0 + 1
∈ Z ⇔

x0 ∈ Z
2
x0 + 1
∈ Z ⇔ x0 + 1 là ước nguyờn của 2
Từ đú suy ra x0 + 1 ∈ {±1, ±2} hay x0 ∈ {0, 1, −2, −3}.
Vậy cỏc điểm trờn (C) cú tọa độ nguyờn là (0; 3), (1; 2), (−2;−1) và (−3; 0).
Cõu 2a (0,5 điểm).
Ta cú :
sinA = cosB + cosC ⇔ 2 sin A
2
cos
A
2
= 2 cos
B + C
2
cos
B − C
2
⇔ 2 sin A
2
ầ
cos
A
2
− cos B − C
2
ồ
= 0
Từ đú ta cú : sin
A
2
= 0
cos
A
2
= cos
B − C
2
⇔

A
2
= 1800
A = B − C
A = C −B
⇔
 A = 90
0
A + C = B
A + B = C
⇔
 A = 90
0
B = 900
C = 900
Vậy tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng.
1
Cõu 2b (0,5 điểm).
Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta cú :
|z − 1− 2i|2 + zi + z¯ = 11 + 2i⇔ |a + bi− 1− 2i|2 + (a + bi)i + a− bi = 11 + 2i
⇔ (a− 1)2 + (b− 2)2 + a− b + (a− b)i = 11 + 2i
⇔
a2 + b2 − a− 5b = 6 (1)a− b = 2 (2)
Từ (2)⇒ a = b + 2 thay vào (1) được :
(b + 2)2 + b2 − (b + 2)− 5b = 6⇔ 2b2 − 2b− 4 = 0⇔
ủ
b = 2
b = −1
Với b = 2⇒ a = 4⇒ z = 4 + 2i⇒ |z| = 2√5.
Với b = −1⇒ a = 1⇒ z = 1− i⇒ |z| = √2.
Vậy |z| = 2√5 hoặc |z| = √2.
Cõu 3 (0,5 điểm).
Với điều kiện x > 3, phương trỡnh đó cho tương đương với :
log2 [(x− 3)(x− 1)] = 3⇔ x2 − 4x + 3 = 8⇔
ủ
x = −1 (loại)
x = 5
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 5.
Cõu 4 (1,0 điểm).
Đặt u =
√
2x− 3; v = √5− 2x (u, v ≥ 0)⇒ u2 + v2 = 2⇒ 2uv = (u + v)2 − 2.
Phương trỡnh trở thành :Ä
2v2 + 3
ọ
u +
Ä
2u2 + 3
ọ
v = 2 + 8uv ⇔ 2uv (u + v) + 3 (u + v) = 2 + 8uv
⇔ (u + v)3 − 4(u + v)2 + (u + v) + 6 = 0
⇔
 u + v = 2u + v = 3
u + v = −1 (loại)
Với u + v = 2⇒ uv = 1⇒ u = v = 1⇒ x = 2.
Với u + v = 3⇒ uv = 7
2
(khụng thỏa món).
Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm x = 2.
Cõu 5 (1,0 điểm).
Ta cú I =
1∫
0
2xex + x2ex − (x2ex + 1)
1 + x2ex
dx =
1∫
0
ầ
2xex + x2ex
1 + x2ex
− 1
ồ
dx = I1 − 1.
Đặt u = 1 + x2ex ⇒ du = (2xex + x2ex) dx.
Đổi cận x = 0⇒ u = 1, x = 1⇒ u = 1 + e, ta cú :
I1 =
1+e∫
1
1
u
du = ln |u||1+e1 = ln (1 + e)
Vậy I = ln(1 + e)− 1.
2
Cõu 6 (1,0 điểm).
Ta cú
AH⊥SB (gt)AH⊥BC (vỡ BC⊥(SAB)) ⇒ AH⊥SC.
Và
AK⊥SD (gt)AK⊥DC (vỡ DC⊥(SAD)) ⇒ AK⊥SC. Từ đú ta cú SC⊥(AHK) (đpcm)
Gọi I = SO ∩HK, kộo dài AI cắt SC tại M , khi đú SA = AC ⇒M trung điểm SC.
Trong (SAC), kẻ ON ||SC, N ∈ AM , ta cú SC⊥(AHK)⇒ ON⊥(AHK).
Trong ∆AMC cú ON =
1
2
MC =
1
4
SC =
1
4
√
SA2 + AC2 =
a
2
.
Trong ∆SAC cú HK =
2
3
BD =
2a
√
2
3
và AI =
2
3
AM =
1
3
SC =
2a
3
.
A
B C
D
S
K
H
M
O
I
N
Tam giỏc AHK cõn tại A nờn S∆AHK =
1
2
AI.HK =
1
2
.
2a
3
.
2a
√
2
3
=
2a2
√
2
9
.
Vậy VO.AHK =
1
3
.S∆AHK .ON =
1
3
.
2a2
√
2
9
.
a
2
=
a3
√
2
27
.
Cõu 7 (1,0 điểm).
Gọi đường cao qua đỉnh B là d1 và đường phõn giỏc trong gúc A là d2.
Gọi I là hỡnh chiếu của M trờn d2 ⇒ I(t; t + 1)⇒ −−→MI = (t; t− 1).
Khi đú
−−→
MI.−→ud2 = 0⇔ t + t− 1 = 0⇔ t =
1
2
⇒ I
ầ
1
2
;
3
2
ồ
.
Gọi M ′ là điểm đối xứng với M qua d2 ta cú M ′(1; 1) và M ′ ∈ AC.
Đường thẳng AC qua M ′ và nhận −→ud1 = (4;−3) làm vectơ phỏp tuyến.
Do đú AC cú phương trỡnh 4(x− 1)− 3(y − 1) = 0⇔ 4x− 3y − 1 = 0.
Tọa độ A là nghiệm hệ
x− y + 1 = 04x− 3y − 1 = 0 ⇔
x = 2y = 3 ⇒ A(2; 3).
Khi đú
−−→
AM = (−2;−1) nờn đường thẳng AB cú vectơ phỏp tuyến −−→nAB = (1;−2).
Do đú AB cú phương trỡnh 1(x− 2)− 2(y − 3) = 0⇔ x− 2y + 4 = 0.
Tọa độ B là nghiệm hệ
3x + 4y + 2 = 0x− 2y + 4 = 0 ⇔
x = −2y = 1 ⇒ B (−2; 1).
Lại cú C ∈ AC ⇒ C
ầ
k;
4k − 1
3
ồ
⇒ −−→MC =
ầ
k;
4k − 7
3
ồ
.
Suy ra MC =
√
k2 +
(4k − 7)2
9
=
25k2 − 56k + 49
9
.
Do đú MC =
√
2⇔ 25k2 − 56k + 49 = 18⇔
 k = 1
k =
31
25
.
3
Từ đú ta cú C (1; 1) hoặc C
ầ
31
25
;−17
25
ồ
(thỏa món).
Vậy A(2; 3), B(−2; 1), C(1; 1) hoặc A(2; 3), B(−2; 1), C
ầ
31
25
;−17
25
ồ
.
Cõu 8 (1,0 điểm).
Đường thẳng d cú vectơ chỉ phương −→u = (1; 2; 1).
Gọi (P ) là mặt phẳng qua A và vuụng gúc d thỡ (P ) nhận −→u = (1; 2; 1) làm vectơ phỏp tuyến.
Do đú (P ) cú phương trỡnh 1(x + 1) + 2(y − 2) + 1(z − 7) = 0⇔ x + 2y + z − 10 = 0.
Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn d ta cú tọa độ H là nghiệm hệ :
x + 2y + z − 10 = 0
d :
x− 2
1
=
y − 1
2
=
z
1
⇔

x = 3
y = 3
z = 1
Do đú hỡnh chiếu của A tren d là H(3; 3; 1).
Ta cú
−−→
AH = (4; 1;−6)⇒ AH = √16 + 1 + 36 = √53.
Mặt cầu tõm A và tiếp xỳc d cú bỏn kớnh AH =
√
53 nờn cú phương trỡnh :
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 7)2 = 53
Cõu 9 (0,5 điểm).
Lấy ngẫu nhiờn 4 cõu hỏi từ ngõn hàng đề để lập một đề thi nờn |Ω| = C415 = 1365.
Gọi A là biến cố "bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được đề thi cú ớt nhất hai cõu đó thuộc".
Vỡ mỗi đề cú 4 cõu và bạn Thủy rỳt được ớt nhất hai cõu đó thuộc nờn cú 3 trường hợp sau :
TH1 : Bạn Thủy rỳt được đề cú 2 cõu đó thuộc. Trường hợp này cú C28 .C
2
7 cỏch.
TH2 : Bạn Thủy rỳt được đề cú 3 cõu đó thuộc. Trường hợp này cú C38 .C
1
7 cỏch.
TH3 : Bạn Thủy rỳt được đề cú 4 cõu đó thuộc. Trường hợp này cú C48 cỏch.
Từ đú suy ra |ΩA| = C28 .C27 + C38 .C17 + C48 = 1050.
Vậy xỏc suất của biến cố A là P (A) =
|ΩA|
|Ω| =
1050
1365
=
10
13
.
Cõu 10 (1,0 điểm).
Ta cú bất đẳng thức tương đương (a− b) (b− c) (a− c) (ab + bc + ca) 6 4 (∗).
Đặt P = (a− b) (b− c) (a− c) (ab + bc + ca).
TH1 : ab + bc + ca < 0 ta cú P 6 0 do đú bất đẳng thức (∗) đỳng.
TH2 : ab + bc + ca > 0, đặt ab + bc + ca = x > 0.
Ta cú (a− b) (b− c) 6
ầ
a− b + b− c
2
ồ2
=
(a− c)2
4
⇒ (a− b) (b− c) (a− c) 6 (a− c)
3
4
(1).
Lại cú 4 (a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca) = 2(a− c)2 + 2(a− b)2 + 2(b− c)2.
Hay 4 (5− x) > 2(a− c)2 + [a− b + b− c]2 = 2(a− c)2 + (a− c)2 = 3(a− c)2.
Từ đú suy ra x 6 5 và a− c 6
4
3
(5− x) (2).
Từ (1) và (2) ta cú P 6 1
4
x
√ủ
4
3
(5− x)
ụ3
=
2
√
3
9
x (5− x)√5− x = 2
√
3
9
(5x− x2)√5− x.
Xột hàm số f(x) = (5x− x2)√5− x trờn [0; 5].
Ta cú f ′(x) =
ầ
5− 5
2
x
ồ√
5− x; f ′(x) = 0⇔
ủ
x = 2
x = 5
; f(0) = 0, f(2) = 6
√
3, f(5) = 0.
Do đú max
[0;5]
f(x) = f(2) = 6
√
3⇒ P 6 2
√
3
9
.6
√
3 = 4.
Ta cú bất đẳng thức cần chứng minh.
——— Hết ———
4