Đề 6 tự luyện thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1* (2,0 điểm). Cho hàm số 
 a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
 b*) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 
Câu 2 (1,0 điểm). 
 a*) Giải phương trình: .
 b*) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: . Tính môđun của . 
Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình: .
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: .
Câu 5* (1,0 điểm). Tính tích phân I = .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng và đường tròn . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (C). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B là các tiếp điểm). Gọi (E) là đường tròn tâm E và tiếp xúc với đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn (E) có chu vi lớn nhất. 
Câu 8* (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , đường thẳng và mặt phẳng . Tìm tọa độ giao điểm của d với (P) và viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P). 
Câu 9* (0,5 điểm). Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).
Câu 10 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
.
----------------HẾT----------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
1) Tập xác định : 
2) Sự biến thiên: 
a, Giới hạn : ; 
0,25
b, Bảng biến thiên: y’ = , y’ = 0 Û x = 0, 
x
- ¥ - 1 0 1 + ¥
y'
 - 0 + 0 - 0 +
y
+ ¥ - 3 + ¥
 - 4 - 4
0,25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- 1; 0) và , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và (0; 1). 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = - 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = , yCT = y() = - 4.
0,25
3) Đồ thị: Đồ thị (C) của hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox tại 2 điểm (; 0). 
1
y
x
O
0,25
b) (1,0 điểm)
Ta có (1). 
0,25
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng 
0,25
Theo đồ thị ta thấy đường thẳng cắt (C) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi 
.
0,25
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi .
0,25
Câu 2
(1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
0,25
0,25
b) (0,5 điểm)
Đặt , (), khi đó . Theo bài ra ta có
0,25
. Do đó , suy ra 
0,25
Câu 3
(0,5 điểm)
Đặt . Bất phương trình đã cho trở thành 
0,25
Suy ra . 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là .
0,25
Câu 4
(1,0 điểm)
Điều kiện: . Gọi hai phương trình lần lượt là (1) và (2) 
 (3)
0,25
Xét hàm số có 
Do đó 
Thế vào (1) ta được 
0,25
Do đó hệ đã cho tương đương với 
. Do x > 0 nên hoặc 
0,25
Với . Với .
Vậy hệ đã cho có nghiệm ,
0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
. Đặt 
0,25
Đặt 
0,25
. 
0,25
Vậy .
0,25
Câu 6
(1,0 điểm)
S
A
B
C
D
O
E
H
K
Gọi , H là trung điểm của AB, suy ra . 
Do và nên 
+) Ta có , . 
0,25
+) 
.
0,25
Thể tích khối chóp là : .
Ta có BC // AD nên AD //(SBC) .
Do H là trung điểm của AB và B = nên 
Kẻ , do nên .
Kẻ , ta có .
0,25
.
Vậy .
0,25
Câu 7
(1,0 điểm)
Đường tròn (C) có tâm , bán kính . Do nên .
Do M nằm ngoài (C) nên 
 (*) 
Ta có 
Do đó tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình: 
 (1)
0,25
Do A, B thuộc (C) nên tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình (2).
Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được (3) 
Do tọa độ của A, B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình của đường thẳng đi qua A, B. 
0,25
+) Do (E) tiếp xúc với nên (E) có bán kính 
Chu vi của (E) lớn nhất lớn nhất lớn nhất 
Nhận thấy đường thẳng luôn đi qua điểm 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên 
Dấu “=” xảy ra khi .
0,25
Ta có , có vectơ chỉ phương 
Do đó (thỏa mãn (*))
Vậy là điểm cần tìm
0,25
Câu 8
(1,0 điểm)
d có phương trình tham số . 
Gọi , do nên 
0,25
Do nên 
0,25
Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên 
Theo bài ra thì (S) có bán kính 
.
0,25
+) Với 
+) Với 
0,25
Câu 9
(0,5 điểm)
Xét các số có 9 chữ số khác nhau:
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.
- Có cách chọn 8 chữ số tiếp theo 
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9.= 3265920 
0,25
Xét các số thỏa mãn đề bài:
- Có cách chọn 4 chữ số lẻ.
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách xếp. 
- Tiếp theo ta có cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0. 
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó302400.
	Vậy xác suất cần tìm là .
0,25
Câu 10
(1,0 điểm)
Ta có 
Ta sẽ chứng minh 
Thật vậy: . 
 (hiển nhiên đúng).
Dấu “=” xảy ra khi .
0,25
Ta lại có 
Do đó 
Do nên .
Đặt và 
0,25
Xét với . 
(loại)
Bảng biến thiên 
t
0 4 8
f’(t)
 - 0 +
f(t)
0,25
Do đó và khi 
	Vậy khi 
0,25
----------------HẾT----------------