Đề 4 thi khảo sát chất lượng thpt quốc gia năm học 2015 - 2016 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản phỏp luật, biểu mẫu miễn phớ
TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KSCL THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016
Mụn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề.
Cõu 1 (1,0 điểm). Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số: 3 21 2 3 13y x x x= - + +
Cõu 2 (1,0 điểm).Tỡm miền giỏ trị của hàm số:   2 51
xf x
x
 
Cõu 3 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa món    21 2 5 2i z i   . Tỡm phần thực và phần ảo của số phức
2w z z 
b) Giải phương trỡnh:  9 3log log 3 2x x  
Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn sau:  1
1
ln
e x
x
xeI dxx e x
 
Cõu 5 (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0P x y z    và
điểm ( )3; 5; 2I - - . Viết phương trỡnh mặt cầu tõm I và tiếp xỳc với mặt phẳng ( )P . Tỡm tọa độ
tiếp điểm..
Cõu 6 (1,0 điểm).
a) Cho biết tan 2, 02a a
        . Tớnh giỏ trị của biểu thức :  cos 2sin 3A a a 
b) Một chi đoàn cú 15 đoàn viờn trong đú cú 7 nam và 8 nữ. Người ta chọn ra 4 người trong chi
đoàn đú để lập một đội thanh niờn tỡnh nguyện. Tớnh xỏc suất để trong 4 người được chọn cú ớt
nhất 1 nữ.
Cõu 7 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp .S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng 3a ;
ã 0120BAD = và cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Biết rằng số đo của gúc giữa hai
mặt phẳng ( )SBC và ( )ABCD bằng 060 . Tớnh theo a thể tớch của khối chúp .S ABCD và
khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và SC .
Cõu 8 (1,0 điểm)..
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trũn ( ) ( ) ( )2 2: 2 2 5C x y- + - = và đường thẳng
( ): 1 0x yD + + = . Từ điểm A thuộc ( )D kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xỳc với ( )C tại B và C .
Tỡm tọa độ điểm A biết rằng diện tớch tam giỏc ABC bằng 8 .
Cõu 9 (1,0 điểm).
Giải hệ phương trỡnh:
2 2
2 2
21 3 31
1 2 1 3
x y y x
y y x x xy y
            
Cõu 10 (1,0 điểm).
Cho , ,a b c là là độ dài của ba cạnh của tam giỏc ABC cú chu vi bằng 3 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của
biểu thức: 2 2 25 5 5 6F a b c abc   
--------Hết-------
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh:.......; Số bỏo danh:
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản phỏp luật, biểu mẫu miễn phớ
I. LƯU í CHUNG:
- Đỏp ỏn trỡnh bày một cỏch giải gồm cỏc ý bắt buộc phải cú trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học
sinh bỏ qua bước nào thỡ khụng cho điểm bước đú.
- Trong lời giải cõu 7, cõu 8 nếu học sinh khụng vẽ hỡnh thỡ khụng cho điểm.
- Nếu học sinh giải cỏch khỏc, giỏm khảo căn cứ cỏc ý trong đỏp ỏn để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đú bị sai thỡ cỏc phần sau cú sử dụng kết quả sai đú khụng được điểm.
- Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn.
II. ĐÁPÁN:
Cõu í Nội dung trỡnh bày Điểm
1
Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số : 3 21 2 3 13y x x x= - + + 1,0
* Tập xỏc định: 
* Chiều biến thiờn: Ta cú 2' 4 3;y x x   1' 0 3
xy x
   
Suy ra hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng  ; 1 và  3; ; nghịch biến
trờn  1;3 .
0,25
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 71 ,3CĐx y   hàm số đạt cực tiểu tại
3 1.CTx y  
* Giới hạn: Ta cú lim
x
y   và lim .x y  
0,25
* Bảng biến thiờn:
0,25
* Đồ thị:
0,25
TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC 2015-2016
Mụn: TOÁN (Gồm 6 trang)
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản phỏp luật, biểu mẫu miễn phớ
Tỡm miền giỏ trị của hàm số :   2 51
xf x
x
  1,0
Miền xỏc định D   ( do 2 1 0x x    )
Ta cú :    32 2
1 5 0
1
xf x
x
  

0,25
2
  10 1 5 0 5f x x x      
2
2
15 5 5lim lim lim 111 1
x x x
khi xx x x
khi xxx x x
  
        
Bảng biến thiờn
0,25
x  15 
 f x  0 
 f x 26
1 1
0,25
Từ bảng biến thiờn  Miền giỏ trị của hàm số là  1; 26   0,25
Cho số phức z thỏa món    21 2 5 2i z i   .Tỡm phần thực và phần ảo của số
phức 2w z z  0,5
3.a Ta cú       25 2 5 3 4 5 3 4 1 2z 11 21 2 1 2 5
i i i i ii i
         0,25
3 Suy ra  22w 11 2 11 2 128 46z z i i i        , Vậy w cú phần thực bằng
128 , phần ảo bằng 46 0,25
Giải phương trỡnh :  9 3log log 3 2x x   0,5
3.b
Điều kiện 0x  . Phương trỡnh tương đương với
   2 23 3 3 3 33 1log log 3 2 log log 3 2 log 3log 4 02x x x x x x        
0,25
3
3
3log 1
1log 4 81
xx
x x
      
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm 13 ; 81x x 
0,25
Tớnh tớch phõn sau :  1
1
ln
e x
x
xeI dxx e x
  1,0
Đặt  11ln xx x xet e x dt e dx dxx x
         0,25
4 Đổi cận : Khi 1x  thỡ t eKhi x e thỡ 1et e  0,25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản phỏp luật, biểu mẫu miễn phớ
1 1 1ln ln
e
ee ee
e
e
dt eI tt e
     0,25
Đỏp số : 1ln
eeI e
 0,25
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
( ) : 2 3 1 0P x y z    và điểm ( )3; 5; 2I - - . Viết phương trỡnh mặt cầu tõm
I và tiếp xỳc với mặt phẳng ( )P . Tỡm tọa độ tiếp điểm..
1,0
ã Bỏn kớnh mặt cầu ( ) 2 2 2
2.3 ( 5) 3.( 2) 1 18;( ) 142 1 3
R d I P - - - - += = =
+ +
. 0,25
5 ã Phương trỡnh mặt cầu: ( ) ( ) ( )2 2 2 1623 5 2 7x y z- + + + + = . 0,25
ã Tiếp điểm chớnh là hỡnh chiếu vuụng gúc H của I xuống mặt phẳng ( )P
đó cho
ã Đường thẳng IH qua I và nhận PVT ( )2; 1; 3n = - -r của mặt phẳng ( )P
làm VTCP cú phương trỡnh là
3 2
5
2 3
x t
y t
z t
ỡ = +ùùùù = - -ớùù = - -ùùợ
( )t ẻ Ă
0,25
ã Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trỡnh
3 2
5
2 3
2 3 1 0
x t
y t
z t
x y z
ỡ = +ùùùù = - -ùớù = - -ùùù - - + =ùợ
ã Hệ này cú nghiệm 9 3 26 13, , ,7 7 7 7t x y z= - = = - =
ã Do đú tiếp điểm H cú tọa độ là 3 26 13; ;7 7 7H
ữỗ - ữỗ ữỗ .
0,25
Cho biết tan 2, 02a a
        .
Tớnh giỏ trị của biểu thức :  cos 2sin 3A a a  0,5
6.a
Ta cú :
2
1 1 10 cos 0;cos2 2 51 tan
a a a
a
      
 1 2sin cos tan 25 5a a a      
0,25
6 Vỡ vậy 1 2 4 152 3 55 5A
             0,25
Một chi đoàn cú 15 đoàn viờn trong đú cú 7 nam và 8 nữ. Người ta chọn ra
4 người trong chi đoàn đú để lập một đội thanh niờn tỡnh nguyện. Tớnh xỏc
suất để trong 4 người được chọn cú ớt nhất 1 nữ.
0,5
6.b  Số phần tử của khụng gian mẫu là   415 1365n C  Gọi A là biến cố "trong 4 người được chọn cú ớt nhất 1 nữ” 0,25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản phỏp luật, biểu mẫu miễn phớ
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là   4 415 7 1330n A C C  
 Vậy xỏc suất cần tớnh là   
1330 38( ) 1365 39
n AP A n   . 0,25
Cho hỡnh chúp .S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng 3a ;
ã 0120BAD = và cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Biết rằng số đo
của gúc giữa hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABCD bằng 060 . Tớnh theo a thể
tớch của khối chúp .S ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và
SC .
1,0
 Do đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng 3a ; ã 0120BAD = nờn cỏc tam
giỏc ,ABC ADC là cỏc tam giỏc đều cạnh 3a .
Suy ra: ( )
2
23 . 3 3 32 2 4 2ABCD ABC
a aS SD= = =
ã Gọi H là trung điểm của BC . Suy ra AH BC^ SH BCị ^
Do đú ( ) ( )ã ( )ã ã 0; ; 60SBC ABCD AH SH SHA= = =
0,25
7
ã Xột tam giỏc SAH ta cú: ( )0 3 . 3. 3 3 3.tan 60 2 2= = =
a aSA AH
ã Vậy
2 31 1 3 3 3 3 9. . . .3 3 2 2 4= = =ABCD
a a aV S SA .
0,25
ã Gọi O AC BD= ầ . Vỡ DB AC^ , BD SC^ nờn ( )BD SAC^ tại O .
ã Kẻ OI SC^ ị OI là đường vuụng gúc chung của BD và SC . 0,25
ã Sử dụng hai tam giỏc đồng dạng ICO và ACS hoặc đường cao của
tam giỏc SAC suy ra được 3 3926=
aOI . Vậy ( ) 3 39, 26=
ad BD SC 0,25
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trũn
( ) ( ) ( )2 2: 2 2 5C x y- + - = và đường thẳng ( ): 1 0x yD + + = . Từ điểm A thuộc
( )D kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xỳc với ( )C tại B và C . Tỡm tọa độ
điểm A biết rằng diện tớch tam giỏc ABC bằng 8 .
1,0
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản phỏp luật, biểu mẫu miễn phớ
ã ( )C cú tõm ( )2;2 , 5I R = , ( ) ( ); 1A A a aẻ D ị - -
ã Từ tớnh chất tiếp tuyến ị IA BC^ tại H là trung điểm của BC .
Giả sử ,IA m IH n= = ( )0m n> >
2 2 2, 5HA m n BH IB IH nị = - = - = -
ã Suy ra: ( ) 21 . . 5 82ABCS BC AH BH AH m n nD = = = - - = (1)
0,25
8
ã Trong tam giỏc vuụng IBA cú 2 5. 5 .BI IH IA m n m n= Û = Û = (2)
Thay (2) vào (1) ta cú: 2 6 4 25 5 8 15 139 125 0n n n n nn
ữỗ - - = Û - + - =ữỗ ữỗ
0,25
( )( )2 4 21 14 125 0n n nÛ - - + = Suy ra 1, 5n m= = . 0,25
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2; 325 2 3 25 6 0 3 3;2
AaIA a a a a a A
ộ -ộ = ờờ= + - - = - = ờờ = - -ở ờở
0,25
Giải hệ phương trỡnh :   
2 2
2 2
21 3 31 1
1 2 1 3 2
x y y x
y y x x xy y
            
1,0
Điều kiện : 2
0, 1
3
x y
y x
  
       2 22 1 1 1 0y x y x y y x           
    
0 , 0 , 1
11 2 1 0 1 0 1 31
x y
y x y x y x y xy x
   
                   
0,25
9
Thế  3 vào  1 ta được : 2 21 21 1 31x x x x      
  2 21 1 31 21 4x x x x      
Xột hàm số   2 21 1, 0f x x x x x x       
Cú :   2 22 1 2 1 , 02 1 2 1
x xf x x
x x x x
        
0,25
     2 2
2 1 2 1 , 0
2 1 3 2 1 3
x xf x x
x x
     
   
Xột hàm số    2 23 0,3 3
tg t t g t t
t t
         
Suy ra hàm số  g t đồng biến trờn  mà
0,25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản phỏp luật, biểu mẫu miễn phớ
   2 1 2 1, 0 2 1 2 1 , 0x x x g x g x x          
     2 1 2 1 0 , 0f x g x g x x       
Nờn hàm số  f x đồng biến trờn tập  2 ;
Mặt khỏc :   
5 2;
5 31 21f
    
Phương trỡnh      4 5 5 6f x f x y     
Hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất    ; 5;6x y 
0,25
Cho , ,a b c là là độ dài của ba cạnh của tam giỏc ABC cú chu vi bằng 3 . Tỡm
giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 25 5 5 6F a b c abc    1,0
Theo giả thiết cho , , 0 3
a b c
a b c
     nờn trong ba số , ,a b c phải cú ớt nhất
một số lớn hơn hoặc bằng 1. Giả sử đú là số 1a a 
Theo tớnh chất ba cạnh của tam giỏc ta luụn 33 2b c a a a a      
Như vậy 31 2a 
0,25
10
Ta cú  22 2 2 25 5 5 6 5 5 2 6F a b c abc a b c bc abc          
   225 5 3 2 5 3aa a bc    
Theo bất đẳng thức AM-GM ta cú    2 21 12 32 2bc b c a   
Mặt khỏc 3 51 5 3a 02 3a           
212 5 3a 3 5 3a2bc a      
0,25
Do đú      2 22 2 2 2 15 5 5 6 5 5 3 3 5 32F a b c abc a a a a         
 3 23 152 a a a   
Xột hàm số    3 23 152f a a a a    với 31 2a 
0,25
      23 3 33 2 1 1 3 1 0, 1;2 2 2f a a a a a a              , nờn hàm số
 f a đồng biến trờn khoảng    3 31; 1 21, 12 2f a f a
       
    31 21, 1; 2F f a f a
       
Dấu bằng khi 1 ; 13
a b c a b ca b c
        
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của F bằng 21 đạt được khi tam giỏc ABC đều cú
cạnh bằng 1
0,25
------------------------------ HẾT------------------------------