Đề 2 tự luyện thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 môn Toán 12

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Câu 1*(1,0 điểm) . Cho hàm số (1) có đồ thị (C)
a/ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b/ Chứng minh rằng trên (C) không thể tồn tại hai điểm có hoành lớn hơn 3 sao cho hai tiếp tuyến với (C) tại hai điểm đó vuông góc với nhau
Câu 2*(1,0 điểm) .
a/ Cho tam giác ABC có góc A lớn nhất và thỏa: cos2A + cos2B + cos2C = 1
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A	
b/ Tìm môđun của số phức z, biết 
Câu 3*(0,5điểm) .Giải bất phương trình: 
Câu 4(1,0 điểm) . Giải hệ phương trình: 
Câu 5*(1,0 điểm) . Tính tích phân sau: 
Câu 6(1,0 điểm) . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.E là điểm trên cạnh AD sao cho BE vuông góc với AC tại H và AB > AE. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBE) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc hợp bởi SB và mặt phẳng (SAC) bằng .Cho . Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa SB, CD
Câu 7(1,0 điểm) . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình là . Viết phương trình đường thẳngqua M(2;5) cắt hai đường tròn (C), (C’) lần lượt tại A, B sao cho biết rằng phương trình đường thẳng có hệ số nguyên (I1,I2 lần lượt là tâm của (C1) và (C2))
Câu 8*(1,0 điểm) . Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mp(P): x + y + z – 3 = 0 và hai đường thẳng
 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d1, tiếp xúc với d2 và cắt mp(P) theoo một đường tròn có bán kính r = ,biết rằng tâm mặt cầu có cao độ dương
Câu 9*(0,5 điểm) . Cho n là số nguyên dương thỏa 
Tìm hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển ,(x > 0)
Câu 10(1,0 điểm) . Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2. 
Tìm GTNN của biểu thức: P = x4 + y4 + z4
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu
Điểm
1a.
a/ Học sinh tự giải
1,0
1.b
b/ Giả sử trên (C) có hai điểm với x1, x2 > 3 sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau
Khi đó, ta có: 
	 (*)
Do x1 > 3 và x2 > 3 nên VT(*) > 0. Do đó (*) vô lí
Vậy: Trên (C) không thể có hai điểm sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau
0,25
0,5
0,25
2a. 
a/ + Ta có : cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A + B)cos(A – B) + cos2C
= = 
= = 
+ Do đó : cos2A + cos2B + cos2C = 1 
 (do góc A lớn nhất nên các góc B,C nhọn cosB, cosC > 0)
Vậy: Tam giác ABC vuông tại A
0,25
0,25
2.b
b/ Tìm môđun của số phức z, biết 
+ Điều kiện .
+ Gọi ,
 ta có :
 hay 
Với , ta có .
Với , ta có .
Vậy môđun của số phức z là hay .
3
+ Điều kiện: 
+ BPT 
 Giao với điều kiện, ta được: 
Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 
4
Điều kiện: 
PT(1) 
	 với f(t) = t3 + 3t
Ta có: f’(t) = 3t2 + 3 > 0 đồng biến trên R
 Do đó: 
 Với y = x2 – 1 , pt (2) trở thành: 
 Đặt , pt(*) trở thành: (**) 
 Ta có: nên (**) có hai nghiệm: t = x + 2 hoặc t = -1 (loại)
 Với t = x + 2 	 
 Với x = 1 y = 0 (nhận)
 Với x = 3 (nhận)
Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8)
5
+ Ta có: 
+ Do đó: 
6
 SH là hình chiếu của SB trên (SAC) 
Đặt AB = x
 Ta có: 
 Lại có: 
 Loại x = a vì khi đó: AE = 2a > a = AB
 Vậy: AB = 2a
SABCD = AB.BC = 8a2
Tam giác SBH vuông tai H 
Tính khoảng cách giữa CD và SB
+ Kẻ HF vuông góc với AB tại H
 + Ta có : theo giao tuyến SF
 Kẻ HK SF tại K 
 + Tính được: HF = từ đó tính được 
 + Ta có: (SAB) chứa SB và song song với CD 
 (M là hình chiếu của C lên (SAB)) 
 + Ta có : HK // CM 
 Vậy: 
7
(C1) có tâm I1(-1;4), bán kính R1 = 
(C1) có tâm I1(3;3), bán kính R2 = 
Dễ kiểm tra được: M là một giao điểm của (C1),(C2)
qua M nên 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I1,I2 lên 
 Ta có: 
Ta có: 
 + Với , chọn a = 2, b= -1 
 + Với , chọn a = 1, b= 2 
Kết luận: Có hai có hai đường thẳng thỏa điều kiện bài toán là 2x – y + 1 = 0, x + 2y – 12 = 0
8
d2 qua A(2;1;-1) có vtcp 
d2 tiếp xúc với (S) nên 
Ta có: (2)
Từ (1) và (2), ta có: 
 Suy ra: I(1;-1;0) (nhận) hoặc (loại do zI > 0)
Với I(1;-1;0) 
Kết luận: phương trình mặt cầu cần tìm là 
9
 Mà n nguyên dương nên n = 11
có số hạng tổng quát là: 
 Tk+1 là số hạng chứa x7 khi 
 Hệ số cấn tìm là: 
10
 Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz
 + Từ gt 
 + Ta có: 
 (*)
 Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc: 
 + Khảo sát hàm số t theo biến x với ta tìm được: 
 Khảo sát hàm số : f(t) = 2t2 – 64t + 288 với ta được:
 Suy ra: đạt được chẳng hạn 
 đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1