ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Trường THPT Chuyên Đại học Vinh – Thi thử lần 1) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 21 1 11 3 2 3 y x m x mx (1), m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) khi 2m . b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại là yCÑ thỏa mãn 1y 3CÑ . Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình cos3 cos 2 3 cos2 sinx x x x b) Giải phương trình 24 2 2log log 2 1 log 4 3 x x x Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 6 1 3 1 2 xI dx x . Câu 4 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 2z z i . Tìm phần thực và phần ảo của z . b) Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp đều .S ABC có 2SA a , AB a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , SB . Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 3 0P x y z và đường thẳng 2 1: 1 2 1 x y zd . Tìm tọa độ giao điểm của P và d ; tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến P bằng 2 3 . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có ACD với 1cos 5 , điểm H thỏa mãn điều kiện 2HB HC , K là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD . Cho biết 1 4; 3 3 H , 1;0K và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm , , ,A B C D . Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 2 3 25 4 1 2 4 x x x x x . Câu 9 (1,0 điểm). Giả sử , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 20 2x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 44 4 4 34 4 4 ln 4 x y zP x y z x y z . HẾT. Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đến www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm a.(1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) khi 2m . ♥ Tập xác định: D ♥ Sự biến thiên: ᅳ Chiều biến thiên: 2' 2y x x ; ' 0 1y x hoặc 2x 0.25 + Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 ; + Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 2; . ᅳ Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại 1x ; yCĐ 31 2 y + Hàm số đạt cực tiểu tại 2x ; yCT 2 3y , ᅳ Giới hạn: lim x y và lim x y 0.25 ᅳ Bảng biến thiên: x 1 2 'y 0 0 y 3 2 3 0.25 ♥ Đồ thị: 0.25 b.(1,0 điểm). b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 3 21 1 11 3 2 3 y x m x mx có cực đại là yCÑ thỏa mãn 1y 3CÑ . ♥ Ta có: 2' 1y x m x m 2 1' 0 1 0 xy x m x m x m 0.25 1 (2,0 điểm) ♥ Hàm số (1) có cực đại 1m 0.25 ♥ Với 1 1 1 11 1 3 2 2 3 1 1 2 2 x y m m m ; Với 3 3 22 21 1 11 1 1 1 6 2 33 2 3 x m y m m m mm mm Với 1m , ta có BBT x 1 m 'y 0 0 y CDy CTy Do đó: 1 1 1 1y 1 3 1 3 2 3 3CÑ my m 0.25 Với 1m , ta có BBT x m 1 'y 0 0 y CDy CTy Do đó: 3 2 3 21 1 1 1 1y 3 3 0 3 6 2 3 3 0 1 3 1 CÑ y m m m m m m m ♥ Vậy giá trị m thỏa đề bài là 13; 3 m . 0.25 a).(0,5 điểm). a) Giải phương trình cos3 cos 2 3 cos2 sinx x x x (1) ♥ Ta có: 1 2cos 2 .cos 3 cos 2 .sin 0 x x x x cos2x cos 3 sin 0 x x 0.25 cos 2 0 4 2 kx x k 3cos 3 sin 0 tan 3 6 x x x x k k ♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ; 4 2 6 kx x k k . 0.25 b.(0,5 điểm). Giải phương trình 24 2 2log log 2 1 log 4 3 x x x ♥ Điều kiện: 1 2 x Khi đó: 2 2 21 log log 2 1 log 4 3 x x x 22 2log 2 log 4 3 x x x 0.25 2 (1,0 điểm) 22 5 3 0 x x (2) 0.25 1 2 3 x x Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm phương trình đã cho là 3x . Tính tích phân 6 1 3 1 2 xI dx x . . ♥ Đặt 23 3 2t x x t dx tdt Đổi cận: 6 3 1 2 x t x t 0.25 ♥ Suy ra: 3 3 32 2 2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 t t t I dt dt dt t t t 0.25 3 2 2 ln 1t t 0.25 3 (1,0 điểm) 2 2 ln 2 ♥ Vậy 2 2 ln 2I . 0.25 a).(0,5 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 2z z i . Tìm phần thực và phần ảo của z . ♥ Đặt z a bi , ,a b ta có: 2 3 2 2 3 2 z z i a bi a bi i 3 3 2 a bi i 0.25 1 2 a b ♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 2 . 0.25 b).(0,5 điểm). b) Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau. ♥ Số phần tử của không gian mẫu là . .3 3 39 6 3C C C 1680 0.25 4 (1,0 điểm) Gọi A là biến cố "3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau” Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là !. . .2 2 2A 6 4 23 C C C 540 ♥ Vậy xác suất cần tính là (A) A 540 9P 1680 28 . 0.25 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp đều .S ABC có 2SA a , AB a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , SB . ♥ Gọi O là tâm của tam giác đều ABC cạnh a . Do .S ABC là hình chóp đều nên SO ABC . Ta có 2 3 4ABC aS và 3 3 aOA Xét SOA ta có: 2 2 2 2 2 2 11 334 3 3 3 a a a SO SA OA a SO 0.25 ♥ Vậy 2 3 . 1 1 33 3 11. . . 3 3 3 4 12S ABC ABC a a a V SO S 0.25 ♥ Gọi , ,N I J lần lượt là trung điểm của các đoạn , ,SC CH HM Do / / / /SB MN SB AMN . Suy ra: , ,( ) ;( ) 2 ;(d AM SB d B AMN d C AMN d I AMN Ta có: AM IJ AM IJN IJN AMN AM IN theo giao tuyến NJ Trong IJN , kẻ ;(IK NJ IK AMN d I AMN IK 0.25 ♥ Xét tam giác IJN ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 16 12 188 11 11 11 188 IK a IK IJ IN a a a Vậy 11 517, 2 2. 188 47 a d AM SB IK a . 0.25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 3 0P x y z và đường thẳng 2 1: 1 2 1 x y zd . Tìm tọa độ giao điểm của P và d ; tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến P bằng 2 3 . ♥ Tọa độ giao điểm M của của P và d là nghiệm của hệ phương trình 12 1 1 1;1;11 2 1 3 0 1 xx y z y M x y z z 0.25 ♥ Do 2; 2 1;A d A t t t 0.25 ♥ Khi đó: 2 2 2; 2 3 43 t t d A P t 0.25 6 (1,0 điểm) ♥ Vậy có hai điểm thỏa đề bài là 4; 5; 2A hoặc 2;7;4A . 0.25 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có ACD với 1cos 5 , điểm H thỏa mãn điều kiện 2HB HC , K là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD . Cho biết 1 4; 3 3 H , 1;0K và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm , , ,A B C D . ♥ Do KAD ∽ KHB 3 3 2 2 KA AB BC KA KH KH HB BH Do K thuộc đoạn AC 3 3 2 2 3 2 A K H K A K H K x x x x KA KH y y y y 2 2 2;2A A A x y 0.25 ♥ Đặt ;B a b với 0a , ta có: 2 1cos cos cos . 5 5 5 2 AB AB ABACD ABD BD KBKB 2 24 5AB KB 2 2 2 24 2 2 5 1a b a b 2 2 6 16 27 0a b a b 0.25 ♥ Đường tròn C đường kính AH có tâm 7 1; 6 3 I , bán kính 1 5 5 2 6 R AB nên có phương trình là 2 2 7 1 125: 6 3 36 C x y Do 090ABC B C 2 2 7 1 125 6 3 36 a b 2 2 7 2 2 0 3 3 a b a b Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2 16 16 27 0 35 7 2 8 02 0 3 3 5 a b a b a a ba b a b b . Suy ra: 3;0B 0.25 Do 3 1, 2 2 BC BH C và 5 2,0 2 BD BK D ♥ Vậy 2;2 , 3;0 , 1; 2 , 2;0A B C D 0.25 Giải bất phương trình 2 3 25 4 1 2 4 x x x x x (1) ♥ Điều kiện: 3 2 1 5 0 3 4 0 1 5 x x x x x Khi đó: 2 21 4 2 4 5 4x x x x x 2 2 4 2 4 3 2 4x x x x x x (2) 0.25 Trường hợp 1: Với 1 5x thì 2 22 4 2 42 4 3x x x x x x (3) Đặt 2 2 4x x t x 0t thì (3) trở thành: 2 4 3 0 1 3t t t Suy ra: 2 2 41 3x x x 2 2 4 0 7 4 0 x x x x 1 17 7 65 2 2 x 0.25 ♥ Trường hợp 2: Với 1 5 0x thì 2 5 4 0x x nên (2) luôn thỏa 0.25 8 (1,0 điểm) ♥ Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là: 1 17 7 651 5;0 ; 2 2 S 0.25 9 (1,0 điểm) Giả sử , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 0 2x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 44 4 4 34 4 4 ln 4 x y zP x y z x y z ♥ Chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 4 3 1t t , 0;1t Xét hàm số 4 3 1tf t t , 0;1t . Ta có: ' 4 .ln 4 3tf t , 4 3' 0 log 0;1ln 4f t t Bảng biến thiên t 0 4 3log ln 4 1 'f t 0 f t 0 0 4 3log ln 4 f Suy ra: 4 3 1t t , 0;1t 0.25 ♥ Ta có: 2 2 20 2x y y z z x 2 2 20 2 2 1x y z xy yz zx Suy ra: , , 0;1x y z . Dấu “=” xảy ra khi ; ; 1,0,0x y z hoặc các hoán vị. và 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1x y z x y z xy yz zx x y z Do 4 3 1t t , 0;1t 4 4 4 3 3x y z x y z 0.25 ♥ Mặt khác: 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2ln ln 0x y z x y z x y z x y z 0.25 ♥ Từ đó ta có: 43 213 3 4 4 P x y z x y z Dấu “=” xảy ra khi ; ; 1,0,0x y z hoặc các hoán vị. Vậy 21 4 MaxP . 0.25 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 9: Giả sử , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 20 18x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 43 3 3 14 4 4 108 x y z P x y z Đáp số: 21 4 MaxP . Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đến www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: