Đề 1 thi olympic toán sinh viên học sinh năm 2016 môn thi: Giải tích thời gian làm bài: 180 phút

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016
Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Bảng B
Bài B.1. Cho (un)∞n=1 là dãy số được xác đinh bởi các điều kiện
u1 = a, un+1 = un + (un − 2016)2 ∀n ≥ 1.
1. Tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy số (un)∞n=1 hội tụ.
2. Tìm giới hạn của dãy số đó khi nó hội tụ.
Bài B.2. Cho α là một số thực và f : [0, 1]→ R là hàm số được xác định bởi công thức
f(x) =
{
xα sin 1
x
nếu x 6= 0,
0 nếu x = 0.
Chứng minh các khẳng định sau:
1. f liên tục nếu và chỉ nếu α > 0.
2. f khả vi nếu và chỉ nếu α > 1.
3. f khả vi liên tục nếu và chỉ nếu α > 2.
Bài B.3. Cho a ≥ 1 là một số thực và f : R→ R là một hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
• (f(ax))2 ≤ a3x2f(x) với mọi số thực x;
• f bị chặn trên trong khoảng (−1, 1).
Chứng minh rằng |f(x)| ≤ x
2
a
với mọi số thực x.
Bài B.4. Giả sử f : R→ R là một hàm số khả vi liên tục hai lần và thỏa mãn điều kiện
lim
|x|→+∞
f(x)
x
= 0.
Chứng minh rằng phương trình f ′′(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài B.5. Cho f : (1,∞)→ R là hàm được xác định bởi công thức
f(x) =
∫ x
√
x
dt
ln t
(∀x > 1).
Hãy tìm tập tất cả các giá trị của f .
HẾT
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.